Sabiranje

Znak plus

Sabiranje ili zbrajanje, u opštom slučaju, je kombinovanje bilo koje dve količine ili veličine koristeći operator plus.

U svakodnevnoj upotrebi, međutim, sabiranje se obično odnosi na kombinovanje brojeva (realnih, celih, prirodnih itd.), u cilju pronalaženja njihove zajedničke količine ili veličine. Sabiranje u ovom smislu je jedan od najprostijih numeričkih zadataka, čiji koncept mogu da razumeju i izvrše trivijalne primere već i deca sa pet meseci starosti kao i neke životinje.

Oznaka i terminologija

3 + 2 = 5 sa jabukama

U uobičajenoj infiksnoj notaciji, sabiranje se predstavlja znakom plus smeštenim između operanada. Operandi se nazivaju sabirci, a rezultat sabiranja se zove zbir. Sledi primer.

$2+2=4$ (izgovara se „jedan plus dva“ ili „jedan više jedan“)

Slede još neki primeri.

$5+4+2=(5+4)+2=9+2=11$ (pogledati asocijativnost)

$3+3+3+3=3\times 4=12$ (pogledati množenje)

Datoteka:VertikalnoSabiranje.svg

Neki put se sabiranje podrazumeva iako ne postoji znak plus:

• Ako je ispisan niz vertikalno potpisanih brojeva ispod kojih je podvučena crta, podrazumeva se da se brojevi žele sabrati a rezultat se upisuje ispod crte. Ipak, ovo nije standard i uobičajeno je staviti znak plus levo od poslednjeg sabirka u nizu.
• Ceo broj iza koga sledi razlomak se obično zove mešani broj (npr. $3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3,5$), ali se ovo retko sreće osim u nižim razredima osnovne škole. Ovakva notacija ne predstavlja dvosmislenost. Naime, ako dve konkretne veličine stoje jedna pored druge, onda se one normalno gledaju kao jedan broj (npr. $1234$ se ne može gledati nikako drugačije nego broj hiljadu dvesto trideset i četiri), ali ovde nije taj slučaj jer imamo razlomak koji čini očiglednim šta se želelo napisati. Takođe, iako je uobičajeno pretpostaviti množenje kada dve veličine stoje jedna pored druge, to se čini samo kada bar jedan od operanada ne predstavlja konkretnu vrednost, nego promenljivu, konstantu, itd. (npr $3a$ se obično interpretira kao $3\times a$, ali ne i kada su oba operanda konkretne vrednosti, poput $1234$ ili $3{\frac {1}{2}}$.

Osobine

Iako osobine operacije sabiranja zavise od njene definicije i oblasti definisanosti, ovde ćemo govoriti konkretno o osobinama sabiranja elemenata iz skupa realnih brojeva, a samim tim i o osobinama sabiranja elemenata bilo koje Abelove grupe.

Sabiranje realnih brojeva zadovoljava četiri uslova:

1. za svaka dva realna broja $a$ i $b$, $a+b$ je isto što i $b+a$:

$\forall a,b\in R,a+b=b+a$ (komutativnost)

2. za svaka tri realna broja koji se sabiraju, nije bitno kojim redosledom ih sabiramo i rezultat mora biti isti; dakle, nije bitno da li prvo saberemo prvi i drugi, pa zbir sa trećim, ili prvo drugi i treći, pa zbir sa prvim itd.:

$\forall a,b,c\in R,a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$ (asocijativnost)

3. Postoji jedan realan broj koji ako se sabere sa bilo kojim realnim brojem daje taj isti realan broj, tj. njegovo dodavanje na neki broj ne utiče na taj broj; taj realni broj se naziva neutral, i kod sabiranja realnih brojeva se obično predstavlja simbolom $0$ i zove „nula“:

$\exists 0\in R,\forall x\in R,x+0=x$

4. Za svaki uzeti realni broj, postoji njemu suprotan, označen sa znakom minus, koji kad se sabere sa tim brojem daje nulu; takav „suprotni“ broj nekog broja se naziva njegovim inverzom:

$\forall x\in R,\exists {-x},x+(-x)=0$

Uopšteno govoreći, sabiranje ne mora zadovoljavati sve navedene osobine za sve skupove nad kojim je definisano. Na primer, sabiranje nad skupom celih brojeva ne zadovoljava uslove 3. i 4., sabiranje nad skupom ordinala ne zadovoljava uslove 1. i 4., itd.

Spoljašnje veze

• MathWorld Wolfram, „Sabiranje“ (en)