Neprekidne funkcije

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Neprekidnost funkcija[uredi - уреди | uredi izvor]

Neprekidne funkcije predstavljaju jednu od najvažnijih klasa funkcija koje se proučavaju u različitim matematičkim disciplinama. Za neku funkciju kažemo da je neprekidna u nekoj tački ako funkcija uopšte posjeduje vrijednost u toj tački, te ako se njena vrijednost kada se sa lijeva ili desna približavamo posmatranoj tački također približava njenoj vrijednosti u posmatranoj tački. Za funkciju koja nije neprekidna u nekoj tački kažemo da je prekidna u toj tački, odnosno da ima prekid u posmatranoj tački.

Radi lakšeg opisivanja ponašanja (svojstava) neke funkcije, u praksi je od velikom značaja tzv. grafik funkcije, tj. grafički prikaz skupa vrijednosti posmatrane funkcije nad nekim podskupom njenog domena. Pojednostavljeno gledajući, za funkciju možemo reći da je neprekidna ako njen grafik možemo nacrtati bez da vrh olovke odvojimo od papira. No, ovo je veoma daleko od formalne definicije neprekidne funkcije, iz čistog razloga što se pojam "crtanja bez odvajanja od papira" ne može matematički predstaviti.

Današnju formalnu definiciju neprekidne funkcije dao je Karl Weierstraß krajem 19. vijeka.

Neprekidnost funkcije u tački[uredi - уреди | uredi izvor]

U upotrebi je nekolicina različitih, ali ekvivalentnih definicija neprekidnosti funkcije u tački

  • Za funkciju definisanu u nekoj okolini tačke kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački ako je
  • Za funkciju definisanu u nekoj okolini tačke kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački ako za dato postoji broj takav da za sve za koje je vrijedi:
  • Za funkciju definisanu u nekoj okolini tačke kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački ako je

Razliku nazivamo priraštaj nezavisne promjenljive i označavamo sa , dok razliku nazivamo priraštaj zavisno promjenljive i označavamo sa .

  • Za funkciju definisanu u nekoj okolini tačke kažemo da je neprekidna s desna tački ako je
  • Za funkciju definisanu u nekoj okolini tačke kažemo da je neprekidna s lijeva tački ako je
  • Za funkciju definisanu u nekoj okolini tačke kažemo da je neprekidna (kontinuirana) funkcija u tački ako je neprekidna s desna i neprekidna s lijeva u tački
  • Tačka gomilanja u kojoj funkcija nije neprekidna naziva se tačka prekida (diskontinuiteta) funkcije . Tačka postaje tačka prekida funkcije , ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
  1. Funkcija nije definisana u tački
  2. Barem jedna od graničnih vrijednosti , ne postoji. Tačku prekida funkcije za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo tačkom prekida druge vrste.
  3. Postoje granične vrijednosti , , ali je barem jedna od njih različita od vrijednosti funkcije u tački , tj. . Tačku prekida funkcije za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamo tačkom prekida prve vrste.
  4. Ako postoje granične vrijednosti , i , ali funkcija nije definisana u tački , onda funkciju možemo proširiti stavljajući tako da nova funkcija postane neprekidna u tački . Ovakvu tačku nazivamo tačkom otklonjivog prekida.
  • Ako su funkcije i neprekidne u tački , onda su i funkcije , neprekidne u tački . Ako je , onda je i funkcija neprekidna u tački .
  • Ako je neprekidna funkcija u tački , a neprekidna funkcija u tački , onda je složena funkcija neprekidna u tački .

Primjeri funkcija sa različitim vrstama tačaka prekida[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Funkcija zadana sa , koja nije definisana za ima prekid u tački . Tačka predstavlja prekid druge vrste za ovu funkciju.
  • Funkcija zadana sa ima prekid druge vrste u tački . Ovo je primjer funkcije koja je neprekidna s lijeva ali nije neprekidna s desna.
  • Funkcija zadana sa posjeduje istovremeno prekid prve vrste (u tački ) i prekid druge vrste (u tački ).
  • Funkcija zadana sa posjeduje otklonjiv prekid u tački .

Neprekidnost funkcija na zatvorenom intervalu[uredi - уреди | uredi izvor]

Za funkciju definisanu na nekom intervalu ili uniji intervala kažemo da je neprekidna na ako je neprekidna u svakoj tački .

Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu , ona je na tom intervalu i ograničena, te na tom intervalu poprima svoju najmanju i najveću vrijednost.

Uniformna neprekidnost funkcija[uredi - уреди | uredi izvor]

Za funkciju definisanu na nekom intervalu kažemo da je uniformno neprekidna na tom intervalu, ako za svako postoji takvo da za sve parove tačaka za koje je vrijedi .

Ako je funkcija uniformno neprekidna na nekom intervalu, ona je očigledno i neprekidna na tom intervalu. Dakle, klasa uniformno neprekidnih funkcija je potskup klase neprekidnih funkcija. U slučaju zatvorenog intervala ove dvije klase se poklapaju, tj. svaka neprekidna funkcija nad zatvorenim intervalom je ujedno i uniformno neprekidna nad ovim intervalom. U slučaju otvorenih intervala, ovo ne vrijedi. Npr. funkcija je neprekidna na otvorenom intervalu , ali nije uniformno neprekidna na ovom intervalu.

Eksterni linkovi[uredi - уреди | uredi izvor]