Izvorni kod stranice Maxwellove jednadžbe

[[File:James clerk maxwell statue rear equations.jpg|thumb|Maksvelove jednačine ispod spomenika u Edinburgu.]]
{{Elektromagnetizam}}
[[Datoteka:Electromagnetism.svg|mini|desno|[[Amperov zakon]] je fizički zakon koji izražava činjenicu da [[magnetno polje]] nastaje kao posledica [[kretanje|kretanja]] [[Električni naboj|električnih naboja]].]]
[[Datoteka:VFPt charges plus minus thumb.svg|mini|desno|Prikaz [[električno polje|električnog polja]] koje okružuje pozitivni (crveno) i negativni (plavo) [[električni naboj]].]]
[[Datoteka:VFPt cylindrical magnet thumb.svg|mini|desno|[[Magnetno polje]] je [[prostor]] oko prirodnih i veštačkih [[magnet]]a i unutar njih u kojem deluju [[magnet]]ske [[sila|sile]].]]
[[Datoteka:VFPt dipole magnetic3.svg|mini|desno|[[Magnetno polje]] prstenastog magneta.]]

'''Maxwellove jednadžbe''' (po [[James Clerk Maxwell|J. C. Maxwellu]]) čine osnovu klasične [[elektrodinamika|elektrodinamike]] i izražavaju povezanost [[električno polje|električnog]] i [[magnetsko polje|magnetskoga polja]]. Maksvelove jednačine obuhvataju ranije poznate zakone, koje je Maxwell objedinio u skladu sa [[jednadžba kontinuiteta|jednadžbom kontinuiteta]]:
* [[Gaussov zakon električnoga polja]],
* [[Gaussov zakon magnetskoga polja]],
* [[Faradejev zakon elektromagnetne indukcije]],
* [[Amperov zakon magnetnog polja]].

Po Maksvelovim jednačinama, promjene u električnom polju uzrokuju promjene u magnetskome polju, i obrnuto, i dovoljno je u nekom trenutku poznavati električno i magnetsko polje kako bi se mogle odrediti promjene polja u budućnosti.<ref>'''Maxwellove jednadžbe''', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=70457] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2019.</ref>

Maxwellove jednadžbe su temelj klasične [[elektrodinamika|elektrodinamike]] i teorijske [[elektrotehnika|elektrotehnike]]. Neki put se ovom skupu pridruži i [[Lorencova sila|Lorencova jednačina]].

== Zakoni ==

=== Gaussov zakon električnoga polja ===
{{main|Gaussov zakon električnoga polja}}

[[Gaussov zakon]] govori da je [[električni naboj]] izvor električnog polja. Ukupni [[električni tok]] kroz zatvorenu površinu proporcionalan je količini električnog naboja koji se nalazi unutar zapremine te površine. Ako unutar te zatvorene površine nema električnog naboja, ukupni [[električni tok]] kroz tu zatvorenu površinu je nula. To ne znači da u toj zapremini uopšte nema električnog polja, već samo da ukupni tok iščezava. Dakle, ako nema električnog naboja u posmatranoj zapremini, koliko [[silnica]] električnog polja ulazi kroz površinu koja opisuje zapreminu, toliko ih izlazi iz te zatvorene površine.

=== Gaussov zakon magnetskoga polja ===
{{main|Gaussov zakon magnetskoga polja}}

[[Gaussov zakon magnetskoga polja]] je sličan prethodnom (u situaciji u kojoj ne postoji naboj), ali opisuje [[magnetno polje]]. Ovaj zakon izriče činjenicu da [[magnetski monopol|magnetskih monopola]] u prirodi nema. Postoje samo [[dipol]]i a jedini izvor magnetnog polja je električna struja i promenljivo električno polje. U svakoj tački prostora, količina silnica magnetnog polja koja ulazi u tu tačku jednaka je količini silnica koje izlaze iz te tačke. Stoga ukupni [[magnetni tok]] kroz zatvorenu površinu uvek iščezava.

=== Faradejev zakon indukcije ===
{{main|Faradejev zakon indukcije}}

[[Faradejev zakon indukcije]] pokazuje da je promenljivo (nestatičko) magnetno polje uzrok nastanka električnog polja - fenomen poznat kao [[elektromagnetna indukcija]]. Zakon elektromagnetske indukcije jedan od osnovnih i najvažnijih zakona elektrotehnike. To je osnovni princip rada [[transformator]]a, [[induktor]]a i mnogih vrsta [[Električni motor|električnih motora]], [[generator]]a i [[solenoid]]a.<ref name="Sadiku386">{{cite book|last=Sadiku|first=M. N. O.|title=Elements of Electromagnetics|year=2007|page=386|publisher=Oxford University Press|edition=4th|location=New York & Oxford|url=https://books.google.com/books?id=w2ITHQAACAAJ&dq=ISBN0-19-530048-3|isbn=0-19-530048-3}}</ref><ref>{{cite web|date=1999-07-22|title=Applications of electromagnetic induction|url=http://physics.bu.edu/~duffy/py106/Electricgenerators.html|publisher=[[Boston University]]}}</ref>

=== Amperov zakon magnetnog polja ===
{{main|Amperov zakon magnetnog polja}}

[[Amperov zakon magnetnog polja|Amperov zakon]] objašnjava nastanak [[magnetsko polje|magnetnog polja]] oko zatvorenog [[Električno kolo|električnog kola]], povezujući električne i magnetske pojave.<ref>'''Ampèreov zakon''', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=2354], "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2016.</ref> [[Električna struja]] koja teče kroz provodnik stvara magnetsko razmjerno jačini struje i dužini provodnika, a obrnuto razmjerno udaljenosti od provodnika.<ref name="Ampèreov zakon">[https://proleksis.lzmk.hr/51318/ Ampèreov zakon]</ref> Smjer magnetskog polja okomit je na struju. Ako kroz dva usporedna provodnika struja teče u istom smjeru, oni se privlače; u protivnom odbijaju.<ref name="Ampèreov zakon"/>

== Jednačine ==

Maksvelove se jednačine mogu prikazati u [[Diferencijalna jednačina|diferencijalnom]] i [[integral]]nom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na [[Stokes' theorem|Stoksovoj]] i [[Divergence theorem|Gaus-Ostrogradski]] teoremima. Takođe postoji i četvorodimenzionalni oblik koji se koristi u [[teorija relativnosti|teoriji relativnosti]] i [[kvantna elektrodinamika|kvantnoj elektrodinamici]].

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! scope="col" | Naziv
! scope="col" | [[Integral]]na jednačina
! scope="col" | [[Diferencijalna jednačina]]
|-
|  [[Gaussov zakon električnoga polja]]
| {{oiint
   | intsubscpt=<math>{\scriptstyle\partial \Omega }</math>
   | integrand=<math>\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_\Omega \rho \,\mathrm{d}V</math>
   }}
| <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>
|-
| [[Gaussov zakon magnetskoga polja]]
| {{oiint
   | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial \Omega }</math>
   | integrand  = <math>\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = 0</math>
  }}
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
|-
| [[Faradayev zakon indukcije]]
|<math>\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}  = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} </math>
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
|-
| [[Ampèreov zakon magnetnog polja]]
| <math>
\begin{align}
\oint_{\partial \Sigma} & \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 \left(\iint_{\Sigma} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \right) \\
\end{align}
</math>
| <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) </math>
|}

U Maksvelovim jednačinama implicitno se pretpostavlja da vredi [[Continuity equation|jednačina kontinuiteta]] (zapravo [[Charge conservation|zakon očuvanja naboja]]):

:<math>{ \partial {\rho} \over \partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 </math>

Za potpuni opis elektromagnetskih pojava nužna je i [[Lorencova sila|Lorencova jednačina]], kako bi se iz polja mogla odrediti [[sila]]:

:<math>\mathbf{F} = q \cdot (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})</math>

== Simboli i jedinice ==

U gornjim jednačinama korišteni su simboli [[Međunarodni sistem jedinica|SI]] mernih jedinica :

{| class="wikitable" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
! Simbol
! Značenje
! SI jedinice mere
|-
| <math>\mathbf{E}</math> 
|  [[električno polje]] 
|  [[volt]] po [[metar|metru]] ili,<br /> [[njutn (jedinica)|njutn]] po [[kulon (jedinica)|kulonu]]
|-
| <math>\mathbf{H}</math> 
| [[magnetsko polje]] 
| [[amper]] po [[metar|metru]]
|-
| <math>\mathbf{D}</math> 
| [[električna indukcija]]  
|  [[kulon (jedinica)|kulon]] po [[kvadratni metar|kvadratnom metru]]
|-
| <math>\mathbf{B}</math> 
|  [[gustina magnetskog fluksa|magnetska indukcija]]  
|  [[tesla (jedinica)|tesla]], ili,<br /> [[veber (jedinica)|veber]] po [[kvadratni metar|kvadratnom metru]]
|-
| <math>\ \rho \ </math>
|  [[gustina naelektrisanja]] 
|  [[kulon (jedinica)|kulon]] po [[kubni metar|kubnom metru]] 
|-
|<math>\mathbf{J}</math>
| [[gustina električne struje]] 
| [[amper]] po [[kvadratni metar|kvadratnom metru]]
|-
| <math>\mathrm{d}\mathbf{A}</math> 
| odsečak površine po kojoj se integrali
| kvadratni metar 
|-
|<math> \mathrm{d}V \  </math> 
| deo prostora obuhvaćenog zatvorenom površinom S
| kubni metar 
|-
| <math> \mathrm{d} \mathbf{l} </math>
| deo konture koja okružuje površinu S
| metar
|-
|<math>\nabla \cdot</math>
| operator divergencije
| po metru
|-
| <math>\nabla \times</math>
| rotor operator
| po metru 
|}

: <math>\epsilon_0 \ </math> - [[dielektrična konstanta vakuuma]] ([[Permitivnost vakuuma|permitivnost]]),
: <math>\mu_0 </math> - [[Vacuum permeability|permeabilnost vakuuma]], a jednaka je:
::<math>\mu_0={1\over{\varepsilon_0 \cdot c^2}}</math>
:gde je <math>c \ </math> [[brzina svetlosti]].

== Makroskopska formulacija ==

Maksvelove jednačine opisuju ponašanje električnog i magnetnog polja svugde u prostoru, ako su poznati svi izvori, to jest naboji i struje. U opisu makroskopskih objekata takav pristup nije moguć iz dva razloga. Prvo, broj naelektrisanih čestica u [[atom]]ima i [[Atomsko jezgro|nuklearnim jezgrama]] vrlo je velik. Drugi je razlog da sa makroskopske tačke gledanja, svi detalji u ponašanju polja i naboja na atomskim i molekularnim dimenzijama nisu relevantni. Ono što je bitno, to je prosečna vrednost polja i izvora u zapremini koja je velika u poređenju sa jednim atomom ili molekulom. Ovakve prosečne vrednosti nazivaju se makroskopska polja i makroskopski izvori. U ovom slučaju Maksvelove jednačine poprimaju oblik:

:<math>\nabla\cdot\mathbf{D} = {\rho_{slob.}}</math>
:<math>\nabla\cdot\mathbf{B} = 0</math>
:<math>\nabla\times\mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = 0</math>
:<math>\nabla\times\mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = {\mathbf{J}_{slob.}}</math>

gde je:
:<math>\mathbf{D} \ </math> - polje električnog pomaka,
:<math>\mathbf{H} \ </math> - magnetizirajuće polje,
:<math>{\rho_{slob.}} \ </math> - gustina slobodnog električnog naboja (ukupna gustina električnog naboja minus gustina vezanih električnih naboja),
:<math>{\mathbf{J}_{slob.}} \ </math> - gustina slobodne električne struje (ukupna gustina električne struje minus gustina vezanih električnih struja).

Veličine <math>\mathbf{D} \ </math> i <math>\mathbf{H} \ </math> nije jednostavno odrediti, jer je u njima sadržana celokupna složenost interakcije polja i sredstva (medija, to jest materijala u kojem se polje nalazi). Moguće je da ove veličine zavise od prethodnog stanja sredstva ([[histerezis]]), takođe je moguće da su nelinearne i prostorno [[Anizotropija|anizotropne]]. Ove jednačine za polja u sredstvu nisu toliko univerzalne kao početno navedene jednadžbe. Ipak, [[James Clerk Maxwell|J. K. Maksvel]] ih je na sličan način prvobitno formulisao. Veze između <math>\mathbf{E} \ </math> i <math>\mathbf{D} \ </math> te između <math>\mathbf{B} \ </math> i <math>\mathbf{H} \ </math> zovu se konstitutivne relacije.

U najjednostavnijem slučaju pretpostavlja se, da su električna i magnetska svojstva sredstva [[homogenost|homogena]] i [[izotropija|izotropna]], te da se polja ne menjaju intenzivno u vremenu. U stvarnosti to vredi za [[dielektrik|dielektrične]] i [[Paramagnetizam|paramagnetske]] materijale. Tada spoljašnje električno polje stvara [[polarizacija|polarizaciju]] <math>\mathbf{P} \ </math>, koja je linearno proporcionalna električnom polju, dok magnetno polje stvara [[magnetizacija|magnetizaciju]] <math>\mathbf{M} \ </math> proporcionalnu magnetnom polju, te vredi:

: <math>\mathbf{P} \ = \chi_e \cdot \epsilon_0 \cdot \mathbf{E} </math>
: <math>\mathbf{M} \ = \chi_m \cdot \mathbf{H} </math>

Tada je:

: <math>\mathbf{D} \ = \epsilon_0 \cdot \mathbf{E} + \mathbf{P} = \epsilon_0 \cdot (1 + \chi_e) \cdot \mathbf{E} = \epsilon \cdot \mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{B} = \mu_0 \cdot ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) = \mu_0 \cdot (1 + \chi_m) \cdot \mathbf{H} = \mu \cdot \mathbf{H}</math>

== Izvori ==
{{reflist|2}}

== Povezano ==
* [[Lorencova sila]]
* [[Bio-Savarov zakon]]
* [[Kulonov zakon]]

== Spoljašnje veze ==
{{Commonscat|Maxwell's equations}}
* [https://www.automatika.rs/baza-znanja/tutorijali/maksvelove-jednacine-elektromagnetnog-polja.html Maksvelove jednačine elektromagnetnog polja]

{{Historija fizike}}
{{Relativnost}}
{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Elektrotehnika]]
[[Kategorija:Elektromagnetizam]]
[[Kategorija:Parcijalne diferencijalne jednačine]]