Lagranžov polinom

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Interpolacija putem Lagranžovih polinoma je postupak u kome je za tačaka uz pomoć Langražovih polinoma potrebno da se nađu nove vrednosti neke nepoznate funkcije ili funkcije čije je izračunavanje preteško (vremenski prenaporno ili čak nemoguće).

Slika prikazuje četiri tačke ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), i (kubni) interpolacioni polinom L(x), koji je zbir skaliranih baznih polinoma y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) i y3l3(x). Interpolacioni polinom prolazi kroz sve četiri kontrolne tačke, i svaki skalirani bazni polinom prolazi kroz svoju kontrolnu tačku, i jednak je 0 tamo gde x odgovara ostalim trima kontrolnim tačkama.

Ideja iza postupka je vrlo slična drugim metodama (Njutnovoj metodi, na primer): Polazeći od poznatih tačaka konstruiše se nova osnova nekog prostora. Onda se data funkcija (odnosno njene poznate vrednosti za date tačke) transformiše u taj novi prostor. Malo neformalnije rečeno, od nje se pravi polinom, a ona služi pre svega kao uzor. Time se dobija nova, približna funkcija (polinom) koji može da se izračuna.

Osnova za Langražov polinom je:

Približna funkcija koja aproksimira je ; su tačke za koje su poznate vrednosti date funkcije:

Gledajući za :

postaje jasnije zašto su takvi polinomi baš izabrani. Na svim mestima polinom ima nulto mesto, a kod ima vrednost 1. Tako je osigurano da će navedeni polinom da prođe tačno kroz date tačke odnosno da će za sve da važi .

Primer[uredi - уреди | uredi izvor]

Poznata je vrednost polinoma u 3 različite tačke :

X 1 2 3
Y 3 -1 1

Ekstrapolacijom se dobija polinom :