Lagranžov polinom

Izvor: Wikipedia

Interpolacija putem Lagranžovih polinoma je postupak u kome je za n+1 tačaka uz pomoć Langražovih polinoma potrebno da se nađu nove vrednosti neke nepoznate funkcije ili funkcije čije je izračunavanje preteško (vremenski prenaporno ili čak nemoguće).

Slika prikazuje četiri tačke ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), i (kubni) interpolacioni polinom L(x), koji je zbir skaliranih baznih polinoma y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) i y3l3(x). Interpolacioni polinom prolazi kroz sve četiri kontrolne tačke, i svaki skalirani bazni polinom prolazi kroz svoju kontrolnu tačku, i jednak je 0 tamo gde x odgovara ostalim trima kontrolnim tačkama.

Ideja iza postupka je vrlo slična drugim metodama (Njutnovoj metodi, na primer): Polazeći od poznatih tačaka konstruiše se nova osnova nekog prostora. Onda se data funkcija (odnosno njene poznate vrednosti za date tačke) transformiše u taj novi prostor. Malo neformalnije rečeno, od nje se pravi polinom, a ona služi pre svega kao uzor. Time se dobija nova, približna funkcija (polinom) koji može da se izračuna.

Osnova za Langražov polinom je:

l_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}

Približna funkcija koja aproksimira f(x) je P(x); x_i su tačke za koje su poznate vrednosti date funkcije:

P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}(x)

Gledajući l_{i}(x) za i \in \{1,2,3,4,5\}:

l_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}
l_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}
l_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}
l_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}
l_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}

postaje jasnije zašto su takvi polinomi baš izabrani. Na svim mestima x_{j \neq i} polinom ima nulto mesto, a kod x_i ima vrednost 1. Tako je osigurano da će navedeni polinom da prođe tačno kroz date tačke odnosno da će za sve P(x_i) da važi P(x_i) = f(x_i).

Primer[uredi - уреди]

Poznata je vrednost polinoma u 3 različite tačke :

X 1 2 3
Y 3 -1 1

Ekstrapolacijom se dobija polinom :

P(x)=3\cdot{x - 2 \over 1 - 2}\cdot{x - 3 \over 1 - 3} + (-1)\cdot{x - 1 \over 2 - 1}\cdot{x - 3 \over 2 - 3} + 1\cdot{x - 1 \over 3 - 1}\cdot{x - 2 \over 3 - 2}