Ermitovi polinomi

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Ermiteovi polinomi predstavljaju ortogonalni niz polinoma. Imenovani su prema Šarlu Ermitu, koji ih je izučavao 1864. godine. Polinomi su od značaja u teoriji verovatnosti, kombinatorici i numeričkoj analizi. U fizici Hermiteovi polinomi predstavljaju svojstvena stanja kvantnoga harmoničkoga oscilatora.

Definicija[uredi - уреди | uredi izvor]

Postoje dva standardna načina normalizacije Ermiteovih polinoma:

("probabilistički' Ermiteovi polinomi"), i

("fizikalni' Ermiteovi polinomi"). Te dve definicije nisu potpuno ekvivalentne, pa postoji transformacija između dve definicije:

Prvih šest probabilističkih Ermiteovih polinoma Hen(x).

Prvih jedanaest polinoma je:

Prvih šest fizikalnih Ermiteovih polinoma Hn(x).

Prvih nekoliko fizikalnih Ermiteovih polinoma:

Ermiteov polinom može da se predstavi i matricom:

Ortogonalnost[uredi - уреди | uredi izvor]

Hn(x) i Hen(x) predstavljaju polinome ntoga-stepena za n = 0, 1, 2, 3, .... Ti polinomi su ortogobnalni u odnosu na težinsku funkciju (meru)

   (He)

ili

   (H)

tj. mi immo:

kada je m ≠ n. Dalje,

   (probabilistički)

ili

   (fizikalna).

Probabilistički polinomi su dakle ortogonalni u odnosu na standardnu normalnu funkciju gustine verovatnoće.

Rekurzivne relacije[uredi - уреди | uredi izvor]

Ermiteovi polinomi takođe zadovoljavaju sledeće rekurzije:

(probabilistička)
(fizikalna)

Ermiteovi polinomi predstavljaju Apelov niz, tj. oni zadovoljavaju sledeće jednačine

(probabilistička)
(fizikalna)


ili ekvivalentno,

(probabilistička)
(fizikalna)

Ermiteovi polinomi zadovoljavaju takođe sledeće rekurentne relacije:

(probabilistička)
(fizikalna)

Te poslednje relacije često se koriste da bi se pomoću početnih polinoma izračunali ostali.

Generirajuće funkcije[uredi - уреди | uredi izvor]

Ermiteovi polinomi mogu da se predstave i eksponencijalnom generirajućom funkcijom:

(probabilistička)


(fizikalna).

Eksplicitni izraz[uredi - уреди | uredi izvor]

Fizikalni Ermiteovi polinomi mogu da se napišu eksplicitno kao:

za parne n i

za neparne n. Te dve jednačine mogu da se kombiniraju u jednu:

Ermiteova diferencijalna jednačina[uredi - уреди | uredi izvor]

Probabilistički Ermiteovi polinomi predstavljaju rešenje diferencijalne jednačine:

gde je λ konstanta, sa graničnim uslovom da u treba da bude polinom ograničen u beskonačnosti. Rešenje jednačine sa graničnim uslovom je u(x) = Hλ(x). Diferencijalna jednačina može i da se napiše u obliku:

Takva jednačina naziva se Ermiteova jednačina, iako se taj naziv koristi i za blisko povezanu jednačinu:

čija rešenja su fiziklani Ermiteovi polinomi.

Ermiteova funkcija[uredi - уреди | uredi izvor]

Ermiteove funkcije mogu da se definišu pomoću fizikalnih polinoma::

Pošto te funkcije sadrže kvadratni koren funkcije težine one su ortonormalne:

Ermiteove funkcije zadovoljavaju diferencijalnu jednačinu:

Ta jednačina ekvivalentna je Šredingerovoj jednačini za harmonijski oscilator u kvantnoj mehanici, tako da su te funkcije svojstvene funkcije.

Ermiteove funkcije 0 (crna), 1 (crvena), 2 (plava), 3 (žuta), 4 (zelena), and 5 (ljubičasta).

Ermiteove funkcije zadovoljavaju sledeće rekurzione relacije:

kao i

Literatura[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0