Nejednakost

Izvor: Wikipedia
Disambig.svg Za ostala značenja v. Nejednakost (razvrstavanje).
Grafika rešenja sistema lineranih nejednakosti.

U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti ili nisu (Takođe pogledajte: jednakost)

  • Oznaka a < b znači da je a manje od b.
  • Oznaka a > b znači da je a veće od b.
  • Oznaka ab znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.

U svim ovim slučajevima, a nije jednako sa b, pa postoji „nejednakost“.

Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti

  • Oznaka ab znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b);
  • Oznaka ab znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);

Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.

  • Oznaka a b znači da je a mnogo manje od b.
  • Oznaka a b znači da je a mnogo veće od b.

Ako je smisao nejednosti isti za sve vrednosti promenljivih za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva „apsolutnom“ ili „bezuslovnom“ nejednakošću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrednosti promenljivih, ali je suprotna ili se poništava za druge vrednosti tih promenljivih, tada se to naziva „uslovna nejednakost“.

Osobine[uredi - уреди]

Nejednakostima se manipuliše sledeći osobine. Valja imati u vidu da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja, osobina, takođe, važi i kada se znaci stroge nejednakosti (< i >) zamene njihovim odgovarajućim nestrogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

Trihotomija[uredi - уреди]

Osobina trihotomije kaže da je:

  • Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od sledećeg, je tačno:
    • a < b
    • a = b ** a > b

Tranzitivnost[uredi - уреди]

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

  • Za sve realne brojeve, a, b, c:
    • Ako je a > b i b > c; tada je a > c
    • Ako je a < b i b < c; tada je a < c
    • Ako je a > b i b = c; tada je a > c
    • Ako je a < b i b = c; tada je a < c

Sabiranje i oduzimanje[uredi - уреди]

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

  • Za sve realne brojeve, a, b, c:
    • Ako je a < b, tada je a + c < b + c i ac < bc
    • Ako je a > b, tada je a + c > b + c i ac > bc

to jest, realni brojevi su uređena grupa.

Množenje i deljenje[uredi - уреди]

Osobine vezane za množenje i deljenje kažu da je:

  • Za sve realne brojeve, a, b i c različit od nule:
    • Ako je c pozitivan i a < b, tada je ac < bc i a/c < b/c
    • Ako je c negativan i a < b, tada je ac > bc i a/c > b/c

Opštije, ovo važi za uređeno polje.

Aditivni inverz[uredi - уреди]

Osobine za aditivni inverz kažu da je:

  • Za sve realne brojeve a i b
    • Ako je a < b, tada je −a > −b
    • Ako je a > b, tada je −a < −b

Multiplikativni inverz[uredi - уреди]

Osobine za multiplikativni inverz kažu da je:

  • Za sve realne brojeve a i b, koji su ili oba pozitivni ili oba negativni
    • Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
    • Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b
  • ako su ili a ili b negativni (ali ne oba), i b je različito od nule, onda:
    • Ako je a < b, tada je 1/a < 1/b
    • Ako je a > b, tada je 1/a > 1/b

Nejednakosti između srednjih vrednosti[uredi - уреди]

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrednosti. Na primer, za bilo koje pozitivne brojeve a1, a2, …, an, važi da je xGaQ, gde je

H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n} (harmonijska sredina),
G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} (geometrijska sredina),
A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} (aritmetička sredina),
Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} (kvadratna sredina).

Nejednakosti stepena[uredi - уреди]

Ponekad sa oznakom „stepena nejednakost“ podrazumevaju jednakosti koje sadrže izraz tipa ab, gde su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih promenljivih.

Primeri[uredi - уреди]

  • Ako je x > 0, tada je
x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}.\,
  • Ako je x > 0, tada je
x^{x^x} \ge x.\,
  • Ako je x, y, z > 0, tada je
(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2.\,
  • Za bilo koja dva različita broj a i b,
\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.
  • Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je
(x+y)^p < x^p+y^p.\,
  • Ako je x, y, z > 0, tada je
x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,
  • Ako je a, b > 0, tada je
a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.\,
  • Ako je a, b>0, tada je
a^b + b^a > 1.\,
Ovaj rezultat uopštio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a1, ..., an > 0, tada je
a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1
(rezultat je objevljen u letonskom naučnom časopisu zvezdano nebo; pogledajte reference).

Kompleksni brojevi i nejadnakosti[uredi - уреди]

Skup kompleksnih brojevas \mathbb{C} sa svojim operacijama sabiranja i množenja je polje, ali nije moguće definisati nijednu relaciju ≤ tako da (\mathbb{C},+,\times,\le) postane uređeno polje. Da bi (\mathbb{C},+,\times,\le) postalo uređeno polje, ono mora da zadovolji sledeća dva uslova:

  • ako je ab tada je a + cb + c
  • ako je 0 ≤ a i 0 ≤ b tada je 0 ≤ a b

Pošto je ≤ totalno uređenje, za svako a, ili je 0 ≤ a ili je a ≤ 0 (u tom slučaju prva osobina implicira da je 0 ≤ -a). U oba slučaja je 0 ≤ a2; ovo znači da je i^2>0 i 1^2>0; pa je -1>0 i 1>0, što znači da je (-1+1)>0, što je kontradikcija.

Međutim, operator ≤ se može definisati tako da zadovoljava prvi uslov („ako je ab tada je a + cb + c“). Ponekad se koristi leksikografski poredak:

  • a ≤ b ako je  Re(a) < Re(b) ili (Re(a) = Re(b) i Im(a)Im(b))

Može se lako dokazati da za ovu definiciju ab implicira a + cb + c.

Vektorske nejednakosti[uredi - уреди]

Relacije nejadnakosti slične onim definisanim gore se mogu takođe definisati za vektor kolonu. Ako se uzmu vektori x,y\in\mathbb{R}^n (što znači da je x = \left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)^T i y = \left(y_1,y_2,\ldots,y_n\right)^T gde su x_i i y_i realni brojevi za i=1,\ldots,n), mogu se definisati sledeće relacije:

  • x = y \ ako je x_i = y_i\ za i=1,\ldots,n
  • x < y \ ako je x_i < y_i\ za i=1,\ldots,n
  • x \leq y ako je x_i \leq y_i za i=1,\ldots,n and x \neq y
  • x \leqq y ako je x_i \leq y_i za i=1,\ldots,n

Slično tome, mogu se definisati relacije za  x > y ,  x \geq y , i  x \geqq y .

Može se uočiti da je osobina trihotomije nije validna za vektorske relacije. Ako se razmotri slučaj gde je x = \left[ 2, 5 \right]^T i y = \left[ 3, 4 \right]^T , vidi se da ne postoji velidan odnos nejednakosti između ova dva vektora. Takođe neophodno je da se definiše multiplikativni inverz pre nego što se ovaj uslov razmotri. Međutim, za ostatak gore pomenutih osobina, postoji paralelna osobina za vektorske nejednakosti.

Dobro poznate nejednakosti[uredi - уреди]

Glavni članak: Spisak nejednakosti

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lako. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

Vidi još[uredi - уреди]

Izvori[uredi - уреди]

Eksterni linkovi[uredi - уреди]