Polje (matematika)

Izvor: Wikipedia

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja (osim deljenja nulom) mogu da se sprovode, i važe ista pravila koja su poznata iz standardne aritmetike.

Sva polja su prstenovi, ali nisu svi prstenovi polja. Polja se razlikuju od prstenova najviše po zahtevu da je deljenje moguće, ali i, danas, po zahtevu da je operacija množenja na polju komutativna.

Prototipski primer polja je skup Q, polje racionalnih brojeva. Među drugim važnim primerima je polje realnih brojeva R, polje kompleksnih brojeva C i, za svaki prost broj p, konačno polje celih brojeva po modulu p, što se označava Z/pZ, Fp ili GF(p). Za svako polje K, skup K(X) racionalnih funkcija sa koeficijentima iz K je takođe polje.

Matematička disciplina koja proučava polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicije[uredi - уреди]

Definicija 1[uredi - уреди]

Polje je komutativni prsten sa deljenjem.

Definicija 2[uredi - уреди]

Polje je komutativan prsten (F, +, *) takav da 0 nije jednako 1 i svi elementi iz F izuzev 0 imaju multiplikativni inverz. (Valja imati u vidu da su 0 i 1 neutrali za + i * redom, i mogu se razlikovati od realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3[uredi - уреди]

Eksplicitno, polje definišu sledeća svojstva:

Zatvorenost skupa F u odnosu na + i * 
Za svako a, b iz F, i a + b i a * b pripadaju F (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
I + i * su asocijativne 
Za svako a, b, c iz F, a + (b + c) = (a + b) + c i a * (b * c) = (a * b) * c.
I + i * su komutativne 
Za svako a, b iz F, a + b = b + a i a * b = b * a.
Operacija * je distributivna nad operacijom + 
Za svako a, b, c, iz F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
Postojanje aditivnog neutrala 
Postoji element 0 u F, takav da za svako a iz F, a + 0 = a.
Postojanje multiplikativnog neutrala 
Postoji element 1 u F različit od 0, takav da za svako a iz F, a * 1 = a.
Postojanje aditivnih inverza 
Za svako a iz F, postoji element −a iz F, takav da a + (−a) = 0.
Postojanje multiplikativnih inverza 
za svako a ≠ 0 iz F, postoji element a−1 iz F, takav da a * a−1 = 1.

Zahtev da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Direktno iz aksoma, može se pokazati da (F, +) i (F − {0}, *) su komutativne grupe (abelove grupe) i da su stoga aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a−1 jedinstveno određeni sa a. Među drugim korisnim pravilima su

a = (−1) * a

i opštije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b)

kao i

a * 0 = 0,

sva ova pravila su poznata iz elementarne aritmetike.

Ako se izuzme zahtev za komutativnošću operacije * razlikuju se gornja komutativna polja od nekomutativnih polja.

Istorija[uredi - уреди]

Koncept polja je uveo Dedekind, koji je koristio nemačku reč Körper (telo) za ovaj pojam. On je takođe prvi definisao prstenove, ali izraz prsten (Zahlring) je uveo Hilbert.[1]

Primeri[uredi - уреди]

     +  0  1        *  0  1
     0  0  1        0  0  0
     1  1  0        1  0  1
Ovo polje ima važne primene u računarstvu, posebno u kriptografiji.
  • Neka su E i F dva polja, i F je podpolje od E. Neka je x element iz E koji nije u F. Tada postoji najmanje podpolje od E koje sadrži F i x, što se označava sa F(x). Kažemo da je F(x) prosto proširenje od F. Na primer, Q(i) je podpolje C koje se sastoji od svih brojeva oblika a + bi gde su i a i b racionalni brojevi.
  • Za dato polje F, skup F(X) racionalnih funkcija promenljive X sa koeficijentima iz F je polje.
  • Ako je F polje, i p(X) je nerastavljiv polinom u prstenu polinoma F[X], tada je koeficijent F[X]/<p(X)>, gde <p(X)> označava ideal generisan sa p(X), polje sa podpoljem izomorfnim sa F. Na primer, R[X]/<X2 + 1> je polje (izomorfno polju kompleksnih brojeva). Može se pokazati da je svako prosto algebarsko proširenje od F izomorfna polju ovog oblika.
  • Kada je F polje, skup F((X)) formalni Loranov red nad F je polje.
  • Ako je V algebarski varijetet nad F, tada racionalne funkcije VF grade polje, polje funkcija nad V.
  • Ako je S Rimanova površina, tada meromorfne funkcije SC grade polje.
  • Hiperrealni brojevi i superrealni brojevi proširuju realne brojeve sabiranjem infinitezimalnih i beskonačnih brojeva.

Rererence[uredi - уреди]

  1. J J O'Connor and E F Robertson, The development of Ring Theory, September 2004.

Literatura[uredi - уреди]

  • Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.

Spoljašnje veze[uredi - уреди]