Mengerova spužva

Mengerova spužva

Mengerova spužva je fraktal kojeg je opisao austrijski matematičar Karl Menger 1926. godine. To je trodimenzionalni analogon tepihu Sierpińskog. Često se naziva Sierpiński-Mengerovom spužvom ili, netočno, samo spužvom Sierpińskog. Svaka strana Mengerove spužve je tepih Sierpińskog, a svaka dijagonala Cantorov skup. Fraktalna joj je dimenzija $\frac{\log 20}{\log 3} \approx 2.7268$.

Konstrukcija

Počinje se s kockom (nulta iteracija) koja se podijeli na 27 jednakih kocaka (duljine stranice 1/3 početne). Nakon toga oduzme se 7 kocaka: središnja i 6 u središtima strana početne kocke (prva iteracija). Postupak se ponovi s preostalih 20 kocaka. Mengerova se spužva dobije kad broj iteracija teži u beskonačno. Na slici ispod su prikazane nulta i prve tri iteracije.

Kao sustav iteriranih funkcija (IFS)

Moguće ju je načiniti pomoću 20 transformacija vjerojatnosti po 5%. Dvije su napisane u tablici, ostale se mogu dobiti analogijom iz transformacijâ za tepih Sierpińskog.

vjerojatnost	transformacije
5%	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n$ $z_{n+1} = \frac{1}{3} z_n$
5%	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{1}{3}$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n$ $z_{n+1} = \frac{1}{3} z_n$
itd.

Vidi još

• Fraktali
• Tepih Sierpińskog
• Trokut Sierpińskog
• Sustavi iteriranih funkcija (IFS)