Tepih Sierpińskog

tepih Sierpińskog nakon šest iteracija

Tepih Sierpińskog je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński 1916. godine. Vrlo je sličan istoimenom trokutu, ali ima veću fraktalnu dimenziju, $\frac{\log 8}{\log3} \approx 1.8928$.

Konstrukcija

Počinje se od kvadrata (nulta iteracija) koji se podijeli u 9 sukladnih kvadrata (duljine stranice 1/3 početnog). Srednji se kvadrad oduzme (prva iteracija), a postupak se ponavlja s preostalih 8. Tepih Sierpińskog nastaje nakon beskonačnog broja iteracija.

• 

  nulta iteracija

• 

  prva iteracija

• 

  druga iteracija

• 

  treća iteracija

• 

  četvrta iteracija

• 

  peta iteracija

Kao sustav iteriranih funkcija (IFS)

Tepih Sierpińskog može se dobiti i primjenjujući ove transformacije:

vjerojatnost	transformacije	objašnjenje
$\frac{1}{8}$	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n$	kvadrat dolje lijevo
$\frac{1}{8}$	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{1}{3}$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n$	kvadrat dolje u sredini
$\frac{1}{8}$	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3}$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n$	kvadrat dolje desno
$\frac{1}{8}$	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{1}{3}$	kvadrat u sredini lijevo
$\frac{1}{8}$	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3}$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{1}{3}$	kvadrat u sredini desno
$\frac{1}{8}$	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3}$	kvadrat gore lijevo
$\frac{1}{8}$	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{1}{3}$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3}$	kvadrat gore u sredini
$\frac{1}{8}$	$x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3}$ $y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3}$	kvadrat gore desno

Mengerova spužva

Mengerova spužva

Trodimenzionalni analogon tepihu Sierpińskog naziva se Mengerova spužva. Dobiva se jednostavnom analogijom gdje se umjesto kvadrata uzimaju kocke. No, ne oduzima se samo središnja od 27 kocaka prve iteracije, nego i još 6 kocaka u središtima strana početne kocke.

Vidi još

Vikimedijina ostava ima još multimedijalnih datoteka vezanih za:

Tepih Sierpińskog

• Fraktali
• Trokut Sierpińskog
• Mengerova spužva
• Lindenmayerov sustav
• Sustavi iteriranih funkcija (IFS)