Hilbertov prostor

Izvor: Wikipedia

Hilbertov prostor je matematički koncept koji generalizuje euklidski prostor. U njemu se metode vektorske algebre i analize iz euklidske ravni i trodimenzionalnog prostora proširuju na prostor sa konačnim ili beskonačnim brojem dimenzija. Dobio je ime po Davidu Hilbertu.

Hilbertov prostor se često pojavljuje u matematici, fizici i inžinjerstvu, tipično kao preslikavanja beskonačnog broja dimenzija.

Geometrijske analogije imaju veliki značaj u razumevanju teorije Hilbertovih prostora. Za njih postoji ekvivalentna Pitagorina teorema i zakon paralelograma.

Definicija i ilustracija[uredi - уреди]

Uvodni primer: euklidski prostor[uredi - уреди]

Jedan od najjasnijih primera Hilbertovih prostora je euklidski prostor koji se sastoji iz trodimenzionalnih vektora, označavamo ga sa R3, u kome je definisan operator proizvoda. Ovaj proizvod uzima dva vektora x i y kao argumente i kao rezultat daje realan broj x·y. Ako su x i y predstavljeni u Dekartovim koordinatama, onda se operator proizvoda definiše kao:

(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.

Operator proizvoda zadovoljava sledeće uslove:

  1. Simetričan je u odnosu na x i y: x·y = y·x.
  2. Linearan je u odnosu na prvi argument: (-{ax1 + -{bx2y = -{ax1·y + -{bx2·y za bilo koje skalare -{a, b}- i vektore x1, x2 i y.
  3. To je pozitivna bilinearna forma: za sve vektore x, x·x ≥ 0, gde znak jednakosti važi ako i samo ako je x = 0.

Operacija nad parom vektora koja zadovoljava ova tri uslova se naziva vektorski proizvod. Svaki vektorski prostor sa konačnim brojem dimenzija u kome je definisan vektorski proizvod predstavlja Hilbertov prostor. Karakteristika goredefinisanog operatora množenja koja ga povezuje sa euklidskom geometrijom je što zavisi i od dužine (ili intenziteta) vektora, koji se označava sa ||x||, i od ugla θ između vektora x i y. Ta zavisnost se izražava formulom:

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.

Matematički niz

\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n

koji se sastoji iz vektora u R3 apsolutno konvergira pod uslovom da suma dužina konvergira (kao u slučaju niza realnih brojeva):

\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| < \infty.

Slično nizu skalara, niz vektora koji apsolutno konvergira istovremeno konvergira ka nekom vektoru L u euklidskom prostoru, i to tako da:

\left\|\mathbf{L}-\sum_{k=0}^N\mathbf{x}_k\right\|\to 0\quad\text{kada }N\to\infty.

Definicija[uredi - уреди]

Hilbertov prostor -{H}- je realan ili kompleksan vektorski prostor koji je istovremeno i Košijev metrički prostor u odnosu na metričku funkciju vektorskog proizvoda. Kakda kažemo da je -{H}- kompleksni vektorski prostor, to znači da u H postoji proizvod 〈x,y〉 koji paru elemenata -{x}-,-{y}- iz -{H}-, pridružuje kompleksnu vrednost, pri čemu je:

\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.
  • x,y〉 je linearna po prvom argumentu. Za sve kompleksne brojeve -{a}- i -{b}-,
\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.
\langle x,x\rangle \ge 0
gde znak jednakosti važi za x = 0.

Realni vektorski prostor se definiše na isti način, osim što vektorski proizvod ima realne vrednosti.

Intenzitet vektora definiše se kao proizvod 〈•,•〉 u obliku realne funkcije:

\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},

a rastojanje između tačaka -{x,y}- u -{H}- definiše se pomoću intenziteta na sledeći način:

d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.

Ovo je funkcija metrike, što znači da (1) da je simetrična po -{x}- i -{y}-, (2) da je rastojanje između -{x}- i -{x}- nula, a da su ostala rastojanja između -{x}- i -{y}- pozitivna, (3) da važi nejednakost trougla, što znači da dužina stranice -{a}- u trouglu -{xyz}- ne može biti duža od zbira preostale dve stranice:

d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).

Poslednja osobina je posledica Koši-Švarcove nejednakosti koja tvrdi da:

|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|

gde znak jednakosti važi kada su -{x}- i -{y}- linearno zavisni.

Kada se funkcija udaljenosti definiše na ovaj način, kao funkcija metrike, onda vektorski prostor postaje pre-Hilbertov prostor. Svaki kopmpletan pre-Hilbertov prostor je Hilbertov prostor. Kompletnost se definiše uslovom: ako za niz vektora važi \textstyle{\sum_{k=0}^\infty u_k} apsolutno konvergira tako da

\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty,

tada niz konvergira u -{H}-, u smislu da parcijalne sume teže nekom elementu -{H}-.

Kao Košijevi normirani prostori, Hilbertovi prostori su po definiciji i Banahovi prostori. Oni su i topološki vektorski prostori u kojima su definisaani topološki pojmovi otvorenih i zatvorenih podskupova.

Reference[uredi - уреди]

Spoljašnje veze[uredi - уреди]