Ciklična grupa

Izvor: Wikipedia

U teoriji grupa, ciklična grupa ili monogena grupa je grupa koja može biti generisana samo od jednog svog elementa, u smislu da je da grupa ima element g ("generator" grupe) takav da, kada se zapiše multiplikativno, svaki element grupe je stepen od g (umnožak od g u slučaju aditivne notacije).

Definicija[uredi - уреди]

Grupa G se naziva cikličnom ako postoji element g u G, takav da G = <g> = { gn za svaki ceo broj n }. Kako je svaka grupa generisana elementom grupe podgrupa te grupe, pokazivanjem da je jedina podgrupa grupe G koja sadrži g sama G, pokazuje se da je G ciklična.

Na primer, ako je G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 }, onda je G ciklična, i G je u suštini ista kao (do na izomorfizam) grupa { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } sa sabiranjem po modulu 6. To jest 1 + 2 mod 6 = 3, 2 + 5 mod 6 = 1, i tako dalje. Može se koristiti izomorfizam φ definisan kao φ(g) = 1.

Za svaki pozitivan ceo broj n postoji tačno jedna ciklična grupa (do na izomorfizam) čiji red je n, i postoji tačno jedna beskonačna ciklična grupa (celi brojevi u odnosu na sabiranje). Stoga su ciklične grupe najjednostavnije grupe.

Ime 'ciklična' može da dovede u zabunu: moguće je generisati beskonačno mnogo elemenata i ne napraviti nijedan ciklus; to jest, svako g^n može biti različito. Grupa generisana na ovaj način je beskonačna ciklična grupa, koja je izomorfna aditivnoj grupi celih brojeva Z.

Grupe se obično označavaju aditivno na sledeći način: Z/n ili Z/nZ. Multiplikativno, označavaju se kao Cn. (Na primer, g3g4 = g2 u C5, gde je 3 + 4 = 2 (mod 5) u Z/5.)

Sve konačne ciklične grupe su periodične grupe.

Svojstva[uredi - уреди]

Svaka ciklična grupa je izomorfna grupi { 0, 1, 2, ..., n − 1 } u odnosu na sabiranje po modulu n, ili Z, aditivnoj grupi svih celih brojeva. Zbog toga su ciklična grupe najjednostavnije grupe za izučavanje i imaju brojna zgodna svojstva. data je ciklična grupa G reda n (n može biti beskonačno). Za svako g iz G,

  • G je Abelova grupa; to jest, operacija grupe je komutativna: gh = hg. Ovo važi, jer je g + h mod n = h + g mod n.
  • Ako je n beskonačno, tada g^n = e jer n mod n = 0.
  • Ako je n = ∞, tada postoje tačno dva generatora: 1 i −1 za Z, a svi ostali se preslikavaju u njih pod izomorfizmom u drugim cikličnim grupama.
  • Ako je n konačno, tada postoji tačno φ(n) generatora, gde je φ() Ojlerova fi funkcija
  • Svaka podgrupa od G je ciklična. Zaista, svaka konačna podgrupa od G je grupa { 0, 1, 2, 3, ... m − 1} u odnosu na sabiranje po modulu m. A svaka beskonačna podgrupa od G je mZ za neko m, koje je bijektivno (izomorfno) sa Z.
  • Cn je izomorfno sa Z/n, jer Z/n = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ..., n − 1 + nZ} \cong { 0, 1, 2, 3, 4, ..., n − 1} u odnosu na sabiranje po modulu n.

Generatori Z/n su klase ostataka celih brojeva koji su uzajamno prosti sa n; broj tih generatora je poznat kao φ(n), gde je φ Ojlerova fi funkcija.

Opštije, ako d deli n, tada je broj elemenata u Z/n, koji su reda d jednak φ(d). Red klase ostatka od m je n / NZD(n,m).

Ako je p prost broj, tada je jedina grupa (do na izomorfizam) sa p elemenata ciklična grupa Cp ili Z/p.

Direktan proizvod dve ciklične grupe Z/n i Z/m je cikličan ako i samo ako su n i m uzajamno prosti. Stoga, na primer Z/12 je direktan proizvod Z/3 i Z/4, ali nije direktan proizvod Z/6 i Z/2.

Definicija implicira da ciklične grupe imaju vrlo jednostavnu prezentaciju grupe Cn = < x | xn >.

Strukturna teorema za konačne Abelove grupe kaže da je svaka konačno generisana Abelova grupa direktan proizvod konačno mnogo cikličnih grupa.

Z/n i Z su takođe komutativni prsteni. Ako je p prost, onda je Z/p konačno polje, što se takođe označava sa Fp ili GF(p). Svako polje sa p elemenata je izomorfno ovom polju.

Jedinice prstena Z/n su brojevi uzajamno prosti sa n. Oni grade grupu u odnosu na množenje po modulu n sa φ(n) elemenata. To se zapisuje kao (Z/n)×. na primer, dobijamo (Z/n)× = {1, 5} kada je n = 6, i (Z/n)× = {1, 3, 5, 7} kada je n = 8.

Poznato je da je (Z/n)× ciklična ako i samo ako je n jednako 2 ili 4 ili pk ili 2 pk za prost broj veći od dva p i k ≥ 1, u kom slučaju se svaki generator Zn× naziva primitivnim korenom po modulu n. Stoga, (Z/n)× je ciklično za n = 6, ali ne za n = 8, kada je izomorfno Klajnovoj četvornoj grupi.

Grupa (Z/p)× je ciklična sa p − 1 elemenata za svako prosto p, što se zapisuje i kao (Z/p)* jer se sastoji od ne-nula elemenata. Opštije, svaka konačna podgrupa multiplikativne grupe bilo kog polja je ciklična.

Primeri[uredi - уреди]

U dve i tri dimenzije simetrija grupe za n-puta rotacionu simetriju je Cn, apstraktnog tipa grupe Zn. U tri dimenzije postoje i druge simetrije grupe koje su algebarski iste.

Treba imati u vidu da grupa S1 svih rotacija kruga (kružna grupa) nije ciklična, jer nije ni prebrojiva.

nti De Moavrov broj gradi cikličnu grupu reda n u odnosu na množenje, na primer, 0 = z^3 - 1 = (z - s^0)(z - s^1)(z - s^2) gde je s^i = e^{2 \pi i /3} i grupa \{ s^0, s^1, s^2 \} u odnosu na množenje je ciklična.

Predstavljanje[uredi - уреди]

Ciklični grafovi konačnih cikličnih grupa su svi n-tostrani poligoni. Crna tačka u cikličnom grafu predstavlja neutral, a ostali čvorovi su elementi grupe. Cikl se sastoji od uzastopnih stepena bilo kog elementa povezanog sa neutralom.

GroupDiagramMiniC1.png
GroupDiagramMiniC2.png
GroupDiagramMiniC3.png
GroupDiagramMiniC4.png
GroupDiagramMiniC5.png
GroupDiagramMiniC6.png
GroupDiagramMiniC7.png
GroupDiagramMiniC8.png
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

Vidi još[uredi - уреди]