Prirodan broj

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Prirodni broj)
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Prirodni brojevi su svi celi brojevi veći od nule.

Skup prirodnih brojva se obeležava velikim latiničnim slovom N={1,2,3,..}.

Skup prirodnih brojeva spx0ada u prebrojive skupove. Često se skupu prirodnih brojeva pridodaje i 0 i taj skup se označava sa N0.

Sabiranje prirodnih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Neka su dati konačni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Računska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva važi

  1. Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
  2. zakon komutacije a+b=b+a
  3. zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
  4. zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b,za a = b + d => a > b
  5. zakon kancelacije skračivanja

ako je a+c=b+c onda je a=b

Teorema 1

a=b <= > a+c= b+c.

Pod a1+ a2 + a3, podrazunjevamo (a1+ a2)+ a3. Pod a1 + a2+ a3 + a4 podrazunjevamo (a1 + a2 + a3 )+ a4 . uopštano je a1+ a2+ a3+....+ an= (a1+ a2+...+ am)+(.. a(m+1+...+ + an).

Teorema 2 a < b=> a+c< b+c

dokaz

a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c.

Teorema 3

(a < b & b<c) => a<c


Množenje prirodnih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnožnik) brojeva a i b koji su faktori (činioci) . Proizvod označavamo sa ab.

Za množenje prirodnih brojeva važi

  1. Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
  2. zakon komutacije ab= ba
  3. zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
  4. zakon kancelacije skračivanja ako je ac=bc onda je a=b
  5. zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje

(a+b)c=ac +bc.

Broj b+b+b+....+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b . .. Teorema 4

a = b => ac=bc a < b => ac < bc

Arhimedova teorema

Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.

Oduzimanje prirodnih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Od broja a oduzeti broj b znači naći broj d takav da je a = b+d.

Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.

Očigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.

Primjer 2-3 nije iz N


Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Podijeliti broj a brojem b znači naći broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili količnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.

U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.

Primjer

5 / 3 nije iz N

Algebarske operacije[uredi - уреди | uredi izvor]

Posmatrajmo operacije sabiranja i množenja u skupu N. Očito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa

(a,b)→ a + b i analogno

a(a,b)→ab.

Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi

  1. Zakon komutacije ako je a*b=b*a
  2. Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c

Ovi zakoni ne moraju važiti uvijek.


(a,b)= 2a + 2b

a*b= 2a+2b= 2b + 2a= b*a

(a*b)*c = (2a+2b)*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c

a*(b*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c

tj ne važi asocijativnost.

Neka su date dvije operacije * i ○ kažemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).


Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.

Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom slučaju sa elementima skupa možemo računati.

Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uređen par (S,*) koji čini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je

  1. e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
  2. e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
  3. e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.

Neutralni element za operaciju množenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N0 je e=0.

Grupoid može biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa.Polugrupa može imati inverzni element.

  1. x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x = e
  2. x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje x * a = e
  3. x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x =x * a = e

Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni ewlement.

Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najviše jedan inverzni element

Dokaz

x1= x1 * e = x1 (a * x0) = (x1 * a )* = x0