Polarne koordinate

Datoteka:Polarne-koordinate.gif

Polarne koordinate

Polarni koordinatni sistem je sistem koordinata gde je pozicija tačke T određena njenom udaljenošću od jedne fiksne tačke R, ishodišta, zajedno sa uglom koji duž RT formira sa jednom fiksnom polupravom. Ishodište R se naziva pol, rastojanje RT naziva se radijus vektor (r), fiksna poluprava naziva se polarna osa (x-osa), na slici desno.

Ugao φ između polarne ose i radijus vektora naziva se vektorski ugao, ili polarni ugao, azimut, amplituda, pa i anomalija. Pozitivan smer ugla φ je obrnut smeru kazaljke na satu, negativna vrednost je u smeru kazaljke na satu. Koordinate tačke T su uređen par brojeva (r,φ). Polarne koordinate u ravni su korisne za sisteme sa centralnom simetrijom.

Polarni koordinatni sistemi se koriste i u tri dimenzije.

Transformacije

(P-D) Polarni u Dekartov. Kada pol postavimo u ishodište Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema, polarnu osu na h-osu, kao na slici, tada sledeći sistem jednačina transformiše polarne u Dekartove koordinate:

$x=r\cos \phi ,\;y=r\sin \phi .$

Na primer, tačka T(2,30°) je u polarnom koordinatnom sistemu; udaljena je 2 od pola R, njen radijus vektor položaja naget je pod uglom 30° prema polarnoj osi. Prema navedenim jednačinama, transformišemo njene koordinate u Dekartov sistem i dobijamo $x={\sqrt {3}},\;y=1,$ tj. njen položaj u Dekartovom pravouglom sistemu koordinata je $T'({\sqrt {3}},1).$

(D-P) Dekartov u polarni. Ako su (x,y) Dekartove koordinate tačke T', tada su njene polarne koordinate $T(r,\phi ),$ gde je:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\;\phi =\arctan({\frac {y}{x}}),$

pri čemu je ugao φ takav da je $x:y:r=\cos \phi :\sin \phi :1.\,$

Na primer, tačka sa Dekartovim koordinatama (-1,-1) ima polarne koordinate $({\sqrt {2}},225^{o}).$

Vidi još

• Dekartov koordinatni sistem
• Sferni koordinatni sistem
• Cilindarski koordinatni sistem