Vektorsko polje

Izvor: Wikipedia
Vektorsko polje oblika f(x,y)=(−y, x)

U matematici i fizici vektorsko polje je polje, koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu.

Neki od diferencijalnih operatori primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija[uredi - уреди]

Neka je D\subseteq\mathbb{R}^n i neka X_0 označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu \left(O,x_1,x_2,x_3,...,x_k\right); k = \dim D, tj.

X_0=\{\overrightarrow{OM}| M=(x_1,x_2,x_3,...,x_k)\in\mathbb{R}^n \}.

Kažemo da je funkcija skalarne varijable (kraće: vektorska funkcija ili vektorsko polje) svaka funkcija

 \overrightarrow{\textbf{W}}:D\mapsto X_0.

Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Potencijalno vektorsko polje
Solenoidno vektorsko polje
Laplaceovo vektorsko polje
Opće vektorsko polje

Transformacije sustava[uredi - уреди]

Neka je S\subseteq\mathbb{R}^n i V_x:S\mapsto\mathbb{R}^n vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ukoliko je Y neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu Y:

V_Y:=\frac{\partial y}{\partial x}V_x.

Napomene[uredi - уреди]

Za V se kaže da je Ck vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Primjene[uredi - уреди]

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

  • Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u \mathbb{R}^7 (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: \left(v_x,v_y,v_z,t,x,y,z\right) (polje je zavisno o vremenu!).
  • Brzina protjecanja fluida kroz cijev.
  • Opis magnetskog djelovanja.
  • Opis električnog djelovanja.
  • Gravitacija.

Podjela[uredi - уреди]

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

  • Potencijalno ili bezvrtložno:
\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}
\mbox{div}\,\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}
  • Solenoidno ili bezizvorno:
\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}
\mbox{div}\,\overrightarrow{W} = 0 \mbox{ (svuda)}
  • Laplaceovo:
\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}
\mbox{div}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}
  • Polje općeg oblika ili složeno polje:
\mbox{rot}\,\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}
\mbox{div}\,\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}

Povezani pojmovi[uredi - уреди]

Vanjske Poveznice[uredi - уреди]