Rišarov paradoks

Izvor: Wikipedia

Rišarov paradoks je nastao 1905. godine i dobio je ime po svom tvorcu matematičaru Rišaru.

Posmatrajmo skup prirodnih brojeva i na njemu sve osobine dužine jedan. Ove osobine zatim poređamo u jedan niz i numerišemo ih, npr. ovako:

  1. broj je deljiv sa 2
  2. broj je prost
  3. broj je jednak 5
  4. broj je kvadrat prostog broja
  5. broj je deljiv sa 5
  6. ...

Primetimo da u nekim slučajevima broj ima svojstvo koje kodira, a u nekim slučajevima nema. Zato uvedimo definiciju: Broj je Rišarov ako nema svojstvo koje kodira. Vidimo da u gornjem primeru brojevi 1 i 3 jesu Rišarovi, dok 2, 4 i 5 nisu.

Osobina broj je Rišarov je takođe jedna osobina dužine jedan na skupu prirodnih brojeva pa će se i ona naći u ovom nizu osobina pod nekim brojem, neka je to broj m. Da li je broj Rišarov? Ako jeste, onda nema svojstvo koje kodira, a to znači da nije Rišarov broj, što je paradoks. Ako broj nije Rišarov onda nema svojstvo koje kodira što po definiciji znači da jeste Rišarov, pa je i ovo nemoguće.

Rišarov paradoks je tesno povezan sa Raselovim paradoksom i sa drugim paradoksima koji su se javljali početkom 20. veka u naivnoj teoriji skupova matematičara Kantora. Ovi paradoksi su ozbiljno poljuljali temelje tadašnje matematičke nauke.