Raselov paradoks

Izvor: Wikipedia

Kantorova teorija skupova sa kraja 19. veka nije bila zasnovana aksiomatski pa se zato nazivala naivna teorija skupova. Međutim ona je implicitno u sebi sadržala nekoliko aksioma od kojih je jedna bila da za svako svojstvo možemo formirati skup svih elemenata koji imaju to svojstvo.

Polazeći od ove aksiome Bertran Rasel je 1903. konstruisao paradoks, po njemu nazvan Raselov paradoks koji je oborio naivnu teoriju skupova. Taj paradoks se može iskazati na više načina i u više formi a suština je sledeća:

Ako za svako svojstvo postoji skup svih objekata koji zadovoljavaju to svojstvo onda to isto važi i za svojstvo „skup ne pripada sam sebi“. Ovo svojstvo je vrlo prirodno jer je vrlo teško naći skup koji pripada sam sebi. Označimo sa X skup objekata za koje važi ovo svojstvo. Da li X pripada sam sebi? Ako pripada onda znači da zadovoljava svojstvo „skup ne pripada sam sebi“ što je kontradikcija. Ako pak ne pripada sam sebi onda će da zadovolji traženo svojstvo pa će baš da pripada sebi, što je opet kontradikcija.

V=\{X\mid X\not\in X\}

Do pojave ovog paradoksa verovalo se u nepobitnost matematičke istine i neprotivurečnost Kantorove teorije skupova. Posle Raselovog paradoksa usledila je i serija drugih paradoksa od kojih posebno izdvajamo Rišarov paradoks. Njihovom pojavom matematička građevina je bila ozbiljno uzdrmana do samih temelja i pretila je opasnost da se sruši. Kriza matematike je rešavana pojavom novih pravaca (Rasel - logicizam, Brauer - intuicionalizam, Hilbert - formalizam).

Jedna varijanta iskazivanja Raselovog paradoksa je: Postoje katalozi knjiga iz biblioteke. Ti katalozi se takođe smatraju za knjige. Neki katalozi sadrže sebe, a neki ne (u katalogu). Možemo posmatrati jedan novi katalog u koji su popisani svi katalozi koji ne sadrže sebe. Da li ovaj katalog sadrži sam sebe? Ponovo će oba slučaja analiziranja dovesti do kontradikcije.

Jedno od mogućih prevazilaženja Raselovog paradoksa je da se skup svih skupova ne smatra za skup, nego za klasu (klasa je ovde uopštenje pojma skupa).