Logaritamske jednačine

U matematici postoje nekoliko logaritamskih jednačina.

Algebarske jednačine

Korišćenje jednostavnijih operacija

Ljudi koriste logaritme da bi uprostili račun. Na primer, dva broja mogu biti pomnožena samo koristeći tablicu logaritama i sabiranje.

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	zbog	$b^m \cdot b^n = b^{m + n}$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	zbog	$\begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}$
$\log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,$	zbog	$(b^n)^y = b^{ny} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$	zbog	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$

Ukidanje eksponenata

Logaritmi i eksponenti (antilogaritmi) sa istom osnovom se poništavaju.

$b^{\log_b(x)} = x$	zbog	$\mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,$
$\log_b(b^x) = x \!\,$	zbog	$\log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,$

Promena osnove

$\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}$

Ova jednačina se koristi za izračunavanje logaritama na elektronskim kalkulatorima. Na primer, većina kalkulatora ima dugmad za ln i za log₁₀, ali ne i za log₂. Da bismo našli log₂(3), treba izračunati log₁₀(3) / log₁₀(2) (ili ln(3)/ln(2), što je zapravo ista stvar).

Iz ove formule proizilazi nekoliko stvari:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

Trivijalne jednačine

$\log_b(1) = 0 \!\,$	zbog	$b^0 = 1\!\,$
$\log_b(b) = 1 \!\,$	zbog	$b^1 = b\!\,$

Jednačine matematičke analize

Limesi

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty \quad \mbox{if } a < 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \quad \mbox{if } a > 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a < 1$

$\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0$

$\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0$

Poslednji limes se često shvata kao "logaritam raste sporije od bilo kog stepena ili korena x".

Izvod logaritamske funkcije

${d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {1 \over x \ln e},\qquad x > 0$

${d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},\qquad b > 0, b \ne 1$

Integral logaritamske funkcije

$\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C$

što se za a=e svodi na

$\int \ln x \, dx = x(\ln x - 1) + C$