Logaritamske jednačine

Izvor: Wikipedia

U matematici postoje nekoliko logaritamskih jednačina.

Algebarske jednačine[uredi - уреди]

Korišćenje jednostavnijih operacija[uredi - уреди]

Ljudi koriste logaritme da bi uprostili račun. Na primer, dva broja mogu biti pomnožena samo koristeći tablicu logaritama i sabiranje.

 \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, zbog  b^m \cdot b^n = b^{m + n}
 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) zbog  \begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}
 \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, zbog  (b^n)^y = b^{ny} \!\,
 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} zbog  \sqrt[y]{x} = x^{1/y}

Ukidanje eksponenata[uredi - уреди]

Logaritmi i eksponenti (antilogaritmi) sa istom osnovom se poništavaju.

 b^{\log_b(x)} = x zbog  \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,
 \log_b(b^x) = x \!\, zbog  \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,

Promena osnove[uredi - уреди]

\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}

Ova jednačina se koristi za izračunavanje logaritama na elektronskim kalkulatorima. Na primer, većina kalkulatora ima dugmad za ln i za log10, ali ne i za log2. Da bismo našli log2(3), treba izračunati log10(3) / log10(2) (ili ln(3)/ln(2), što je zapravo ista stvar).

Iz ove formule proizilazi nekoliko stvari:

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b
a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

Trivijalne jednačine[uredi - уреди]

 \log_b(1) = 0 \!\, zbog  b^0 = 1\!\,
 \log_b(b) = 1 \!\, zbog  b^1 = b\!\,

Jednačine matematičke analize[uredi - уреди]

Limesi[uredi - уреди]

\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1
\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{if } a < 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{if } a > 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{if } a < 1
\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0
\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0

Poslednji limes se često shvata kao "logaritam raste sporije od bilo kog stepena ili korena x".

Izvod logaritamske funkcije[uredi - уреди]

{d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {1 \over x \ln e},\qquad x > 0
{d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},\qquad b > 0, b \ne 1

Integral logaritamske funkcije[uredi - уреди]

\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C

što se za a=e svodi na

\int \ln x \, dx = x(\ln x - 1) + C