Karakteristični polinom

Izvor: Wikipedia

Karakteristični polinom kvadratne matrice A reda n je polinom koji se dobije izračunavanjem determinante karakteristične matrice tIn-A, gdje je In kvadratna jedinična matrica reda n, a t je neodređen.


 
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &  a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} 
\end{bmatrix}
 
\mathbf{tI_{n}-A} = \begin{bmatrix} 
t-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & t-a_{22} & \cdots &  -a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & t-a_{nn} 
\end{bmatrix}

Karakteristični polinom je od koristi za izračunavanje nekoliko važnih svojstava matrice, kao što su svojstvene vrijednosti. Nule karakterističnog polinoma su svojstvene vrijednosti matrice.

Primjer[uredi - уреди]

Recimo da želimo izračunati karakteristični polinom matrice

A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}.

Trebamo izračunati determinantu od

t I-A = \begin{pmatrix}
t-2&-1\\
1&t
\end{pmatrix}

a ona je

(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1.\,\!

Ovo je karakteristični polinom od A.

Svojstva[uredi - уреди]

Svi realni polinomi neparnog stupnja imaju bar jedan realan broj kao korijen, tako da za neparno n svaka realna matrica ima najmanje jednu svojstvenu vrijednost. Mnogi realni polinomi parnog stupnja nemaju realni korijen, ali osnovni stavak algebre tvrdi da svaki polinom stupnja n ima n kompleksnih korijena.

Slične matrice imaju iste karakteristične polinome. Međutim, dvije matrice koje imaju iste karakteristične polinome ne moraju nužno biti slične. Matrica A i transponirana matrica AT imaju iste karakteristične polinome.

Cayley-Hamiltonov teorem tvrdi da ako ubacimo A u karakteristični polinom pA(t) dobivamo nul-matricu:

p_A(A)=0.

Jednostavno, svaka matrica zadovoljava svoju karakterističnu jednadžbu. Kao posljedicu ovoga, možemo pokazati da minimalni polinom od A dijeli karakteristični polinom od A.