Jedinična matrica

Izvor: Wikipedia

Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.


E_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
E_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
E_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
E_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Što se također može definirati i Kroeneckerovom deltom:

E_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}},

gdje je:

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
 1 & , i=j\\
 0 & , i \neq j
\end{matrix}\right.\quad\mbox{sa }i,j\in\{1,\ldots,n\}

Alternativni zapisi su:

E_{ij} = \delta_{ij}
E = (\delta_{ij})

Osobine[uredi - уреди]

Množenje[uredi - уреди]

Jedna od bitnih osobina jedinične matrice En nekog prostora Kn × n jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:

EA = AE = A, \; A \in K^{n \times n}

Štoviše, vidi se da je matrica nad prostorom Kn × n komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore Kn × m, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine također slijedi i:

AA^{-1} = A^{-1}A = E

Primjer:

\begin{bmatrix}
  2 & 3 & -2 \\
  1 & 1 & 3 
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  2 & 3 & -2 \\
  1 & 1 & 3 
\end{bmatrix}

Determinanta i inverz[uredi - уреди]

Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.

|E| = 1
E = E^{-1}

Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:

EE^{-1} = E, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice
E^{-1}EE^{-1} = E^{-1}E, množenje slijeva sa E-1
\underbrace{E^{-1}E}_{E}E^{-1} = \underbrace{E^{-1}E}_{E}, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E
\underbrace{EE^{-1}}_{E^{-1}} = E, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe
E^{-1} = E, kraj dokaza