Vektorska analiza

Izvor: Wikipedia

Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima.

Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.

Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija.

Vektorski operatori[uredi - уреди]

Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.

Sve se te operacije mogu prikazati preko Hamiltonova operatora \nabla , što se izgovara kao [nabla]. U kartezijevu sustavu je definiran kao

\nabla \equiv \hat{\mathbf{x}}\frac{\partial}{\partial x}  + \hat{\mathbf{y}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{z}}\frac{\partial}{\partial z},

a definicija operatora \nabla u zakrivljenim koordinatama malo je složenija.

Najjednostavnije operacije su:

Operacija Notacija
Gradijent  \operatorname{grad}(f) = \nabla f
Rotacija  \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}
Divergencija  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}
Laplasijan  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f

Najpoznatiji teoremi[uredi - уреди]

U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:

Naziv Izjava
Poopćena Newton-Leibnizova formula  \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}.
Greenov teorem \int_{C} \left( L\, dx + M\, dy \right) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA
Stokesov teorem  \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},
Gaussov teorem \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},

Vezani pojmovi[uredi - уреди]