Skalarni proizvod vektora

Izvor: Wikipedia

Skalarni proizvod vektora je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V, zapis ove operacije je sledeći:

(a,b) \mapsto a \cdot b

Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:

(u+v)\cdot w = u \cdot w + v \cdot w
(\alpha u)\cdot v = \alpha(u \cdot v)
u \cdot v = v \cdot u
u \ne 0 \Rightarrow u \cdot u > 0

Pri čemu su u, v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj.

Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora

Skalarni proizvod vektora \vec{x} i \vec{y} se definiše na sledeći način:

\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots + x_n \, y_n

Pri tom su |\vec x| i |\vec y| intenziteti tih vektora, određenih sledećim koordinatama:

\vec{x} = (x_1, x_2, \dots x_n) i \vec{y} = (y_1, y_2, \dots y_n)

Primer skalarnog množenja vektora (1, 3, −5) i (4, −2, −1) u trodimenzionalnom prostoru:

\begin{align}
& (1,3,-5) \cdot (4,-2,-1) \\
& = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
& = 4 - 6 + 5 \\
& = 3
\end{align}

Dokaz[uredi - уреди]

Formula :\vec x\cdot \vec y =  |\vec x| \cdot |\vec y| \cdot \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right) se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:

Ako je \gamma, ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:

|\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Pošto je \vec c jednak \vec b-\vec a, sledi:

|\vec b-\vec a|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a| |\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Odakle se nalazi:

\left(\vec b-\vec a\right)\cdot\left(\vec b-\vec a\right) = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}
 \vec b\cdot\vec b -2 \vec a\cdot\vec b+ \vec a\cdot\vec a = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}

Odatle se dobija konačna formula:

\vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}.

Ortogonalni vektori[uredi - уреди]

Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori \vec{x} i \vec{y} uzajamno normalni dobija se:

\vec{x}\cdot \vec{y} = 0 .

Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.

Osobine[uredi - уреди]

Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:

{\vec{a} \cdot \vec{b}} = {\vec{b} \cdot \vec{a}}

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}

  • u opštem slučaju nije asocijativan
  • za njega važi sledeće:

(\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b}

Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora[uredi - уреди]

Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.

Pošto je:

\vec x\cdot \vec y = \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.

Za specijalan slučaj kada je \vec{x} = \vec{y} jednakost prelazi u: \vec{x} \cdot \vec{x} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + \dots + {x_n}^2

Na osnovu toga se zaključuje:
| \vec x | = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.

Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.

Primena u fizici[uredi - уреди]

Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj. Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja:

A=\vec F \cdot \vec r = |\vec F| \cdot |\vec r| \cdot \cos \alpha

Geometrijska interpretacija[uredi - уреди]

Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.

 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \, \Longrightarrow \theta =  \arccos \left( \frac {\vec{a}\cdot\vec{b}} {|\vec{a}||\vec{b}|}\right).

Vidi još[uredi - уреди]

Literatura[uredi - уреди]

  • Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd