Parametarska jednačina

Izvor: Wikipedia
Jedan primer krive definisane parametarskim jednačinama Leptir kriva.

U matematici, parametarska jednačina je u neku ruku slična funkciji: one omogućavaju da se koriste proizvoljne vrednosti, koje se nazivaju parametrima, umesto nezavisnih promenljivih, koje daju vrednosti za zavisne promenljive. Jednostavan kinematički primer je kada se koristi vreme kao parametar da bi se odredila pozicija, vektor brzine i druge informacije o pokretnom telu.

Primeri[uredi - уреди]

Na primer, najjednostavnija je jednačina za parabolu,

y = x^2\,

ona može biti parametrizovana korišćenjem slobodnog parametra t, na sledeći način

x = t\,
y = t^2\,

Mada prethodni primer izgleda pomalo trivijalno, uzmimo parametrizaciju kruga poluprečnika a:

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t)\,

Parametarske jednačine su zgodne za opisivanje krivih u višedimenzionim prostorima.Na primer:

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t)\,
z = bt\,

opisuje trodimenzionu krivu, heliks, poluprečnika a i diže se za 2πb jedinice po ciklusu. (Jednačine su identične u ravni onima za krug; u stvari, heliks je samo krug čiji krajevi nemaju iste z-vrednosti.)

Izrazi kao ovi gore se često zapisuju na sledeći način

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,

Ovakav način za izražavanje krivih je praktičan i efikasan, jer je pogodan za integraciju i diferencijaciju. Stoga se brzina čestice koja sledi ovakvu parametrizovanu putanju može opisati kao:

v(t) = r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)\,

a ubrzanje kao:

a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)\,

Uopšteno, parametarska kriva je funkcija jednog nezavisnog parametra (koji se obično označava sa t). Za odgovarajući koncept sa dva (ili više) nezavisnih parametara videti: parametarska površ.

Pretvaranje dve parametarske jednačine u jednu jednačinu[uredi - уреди]

Pretvaranje skupa parametarskih jednačina u jednu jednačinu podrazumeva rešavanje jedne od jednačina (obično najprostije) po parametru. Zatim se rešenjee parametra zamenjuje u drugu (ukoliko ih je samo dve) jednačinu, i rezultujuća jednačina se obično uprošćava. Treba znati da parametar nikada nije prisutan u singularnom obliku (to jest, gubi se tokom pretvaranja). Ili, prostijim rečima: simultane jednačine se rešavaju po parametru, i rezultat je jedna jednačina. Ukoliko postoje restrikcije u vrednosti parametra, sprovode se dodatni koraci.

Vidi još[uredi - уреди]

Spoljašnje veze[uredi - уреди]