Lorenzov atraktor

Izvor: Wikipedia
Prikaz trajektorije Lorenzovog sustava za vrijednosti ρ=28, σ = 10, β = 8/3
LorenzAttractor.png
Trajektorija Lorenzovih jednadžbi, renderirana kao metalna žica kako bi se naznačio smjer i trodimenzionalna struktura

Lorenzov atraktor je kaotično preslikavanje, istaknuto po svom leptirolikom obliku. Preslikavanje pokazuje kako stanje dinamičkog sustava (tri varijable trodimenzionalnog sustava) vremenski evolvira u složenom, neponavljajućem uzorku, često opisanom kao lijepim[traži se izvor].

Sam atraktor, kao i jednadžbe iz kojih je izveden, je izmislio Edward Lorenz 1963., koji ih je izveo iz pojednostavljenih jednadžbi konvekcijskih uvrtanja koji izniču iz jednadžbi Zemljine atmosfere.

Sa tehničkog gledišta, sustav je nelinearan, trodimenzionalan i deterministički. 2001. je Warwick Tucker dokazao da za određene parametre sustav ispoljava kaotično ponašanje i pokazuje ono što je danas nazvano čudnim atraktorom. Čudni atraktor je u ovom slučaju fraktal Hausdorffove dimenzije između 2 i 3. Grassberger (1983.) je procjenio njegovu Hausdorffovu dimenziju na 2.06 ± 0.01 i korelacijsku dimenziju na 2.05 ± 0.01.

Sistem izniče u laserima, dinamima i specifičnim vodenicama [1].

Jednadžbe koje upravljaju Lorenzovim atraktorom su:

\frac{dx}{dt}  = \sigma (y - x)
\frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y
\frac{dz}{dt}  = xy - \beta z

gdje se \sigma zove Prandtlovim brojem i \rho Rayleighjevim brojem. Svi su \sigma, \rho, \beta > 0, ali je obično \sigma = 10, \beta = 8/3 i \rho varira. Sustav ispoljava kaotično ponašanje za \rho = 28 i prikazuje čvoraste periodičke orbite za druge vrijednosti od \rho. Primjerice, uz \rho = 99.96 postaje T(3,2) torusni čvor.

Učinak leptira u Lorenzovom atraktoru[uredi - уреди]

Učinak leptira
Vrijeme t=1 (povećano) Vrijeme t=2 (povećano) Vrijeme t=3 (povećano)
Lorenz caos1-175.png Lorenz caos2-175.png Lorenz caos3-175.png
Ovi oblici - načinjeni uz ρ=28, σ = 10 i β = 8/3 - pokazuju tri vremenska segmenta 3-D evolucije dvaju trajektorija (jedne plavo, druge žuto obojeane) u Lorenzovom atraktoru počinjući od inicijalnih točaka koje se razlikuju svega za 10-5 u x koordinati. U početku se dvije trajektorije podudaraju (vidi se samo žuta, jer je iscrtana preko plave) ali, nakon nekog vremena, očito divergiraju.
Java animacija Lorenzovog atraktora pokazuje kontinuiranu evoluciju.

Rabeći različite vrijednosti za Rayleighjev broj[uredi - уреди]

Lorenzov atraktor za različite vrijednosti ρ
Lorenz Ro14 20 41 20-200px.png Lorenz Ro13-200px.png
ρ=14, σ=10, β=8/3 (povećano) ρ=13, σ=10, β=8/3 (povećano)
Lorenz Ro15-200px.png Lorenz Ro28-200px.png
ρ=15, σ=10, β=8/3 (povećano) ρ=28, σ=10, β=8/3 (povećano)
Za male vrijednosti ρ, sustav je stabilan i evolvira u jednu od dvije fiksne točke atraktora. Kada je ρ veći od 24.74, fiksne točke postaju repulzori koji odbijaju trajektorije na vrlo složen način, evolvirajući bez presijecanja same sebe.
Java animacija koja prikazuje evoluciju za različite vrijednosti ρ

Vidi još[uredi - уреди]

Izvori[uredi - уреди]

Eksterni linkovi[uredi - уреди]