Laplasov operator

Izvor: Wikipedia

Laplasov operator, u matematici, je eliptički diferencijalni operator drugog reda. Ima brojne primene širom matematike, te u fizici, elektrostatici, kvantnoj mehanici, obradi snimaka, itd. Nazvan je po francuskom matematičaru Pjeru Simonu Laplasu.

Imajući u vidu pojmove divergencije i gradijenta, za datu skalarnu funkciju u = u(x, y, z), biće:

div\,grad\,u = (\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}, \frac{\partial^{2}u}{\partial y^2}, \frac{\partial^{2}u}{\partial z^2}),

što se može napisati kao:

div\,grad\,u = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial z^2})u.

Desna strana poslednjeg izraza, bez oznake za funkciju u, predstavlja Laplasov operator i obeležava se sa delta - Δ:

\Delta = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial z^2}).

Koristeći operator nabla, taj izraz možemo zapisati kao:

 \nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) \;.

Koordinatni izrazi[uredi - уреди]

U jednodimenzionalnom i dvodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu Laplasov operator je:

 \Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \;, \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \;.

U trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu je :

 \Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = 
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } \;.

U trodimenzionalnom cilindričnom koordinatnom sistemu je:

 \nabla^2 t 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left(r {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}
+ {\partial^2 t \over \partial z^2 }

U trodimenzionalnom sfernom koordinatnom sistemu je :

 \nabla^2 t 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left(r^2 {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left(\sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}

U Euklidskom prostoru {\mathbb R}^n Laplasov operator je dat u standardnim koordinatama kao

\Delta_n=\nabla_n^2=\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}.

Laplasov operator u opštim krivolinijskim koordinatama dan je sa:

\nabla^2  f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
gde su H_i\ Lameovi koeficijenti.

U slučaju Rimanovoga krivolinijskoga prostora definisanoga metričkim tenzorom g_{ij} Laplasijan je dan sa:

 \nabla^2  f = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k})

a metrika prostora definisana je sa:

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j .

Svojstva[uredi - уреди]

Laplasov operator je linearan:

 \nabla^2 (f + g) = \nabla^2 f + \nabla^2 g \;.

Takođe važi :

\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \;.

Uopštenja[uredi - уреди]

Laplasov operator se može uopštiti na više načina. Dalamberov operator je definisan na prostoru Minkovskog. Laplas-Beltramijev operator je eliptički diferencijalni operator drugog reda definisan na svakoj Rimanovoj mnogostrukosti. Laplas-de Ramov operator dejstvuje na prostorima diferencijalnih formi na pseudo-Rimanovim površima.

Literatura[uredi - уреди]

  • Evans, L (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9 .
  • Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M (1970), "Chapter 12: Electrostatic Analogs", The Feynman Lectures on Physics, Volume 2, Addison-Wesley-Longman .
  • Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer, ISBN 978-3-540-41160-4 .
  • Schey, H. M. (1996), Div, grad, curl, and all that, W W Norton & Company, ISBN 978-0-393-96997-9 .

Spoljašnje veze[uredi - уреди]