Lagranžova teorema (teorija grupa)

Izvor: Wikipedia
Disambig.svg
Ukoliko ste tražili Lagranžovu teoremu srednje vrednosti, pogledajte članak Lagranžova teorema.

U teoriji grupa, grani matematike, Lagranžova teorema glasi da za svaku konačnu grupu G, red (broj elemenata) svake podgrupe H od G deli red grupe G.

Ovo se može pokazati korišćenjem koncepta levih koseta od H u G. Levi koseti su klase ekvivalencije određene relacije ekvivalencije na G i stoga čine particiju G. Ako možemo da pokažemo da svi koseti od H imaju isti broj elemenata, onda je dokaz završen, jer je samo H koset od H. Sada, ako su aH i bH dva leva koseta od H, možemo da definišemo preslikavanje f : aHbH kao f(x) = ba-1x. Ovo preslikavanje je bijekcija, jer je njen inverz f -1(y) = ab-1y.

Ovaj dokaz takođe pokazuje da je količnik redova |G| / |H| jednak indeksu [G:H] (broj levih koseta od H u G). Ako zapišemo ovo tvrđenje kao

|G| = [G:H] · |H|,

zatim ga interpretiramo kao iskaz o kardinalnim brojevima, on ostaje tačan, čak i za beskonačne grupe G i H.

Posledica ove teoreme je da je red bilo kog elementa a konačne grupe (tj. najmanji pozitivan ceo broj k takav da ak = e) deli red te grupe, jer je red od a jednak redu ciklične podgrupe generisane sa a. Ako grupa ima n elemenata sledi

an = e.

Ovo se može koristiti u dokazu Male Fermaove teoreme i njene generalizacije, Ojlerove teoreme.

Obratno ne važi u opštem slučaju: ako je data konačna grupa G i delilac d od |G|, ne mora obavezno da postoji podgrupa od G reda d. Najmanji primer je alternirajuća grupa G = A4 koja ima 12 elemenata, ali nema podgrupu reda 6. Međutim, ako je G Abelova grupa, tada uvek postoji podgrupa reda d.