Konjuktivna normalna forma

Izvor: Wikipedia

U bulovskoj logici, formula je u konjunktivnoj normalnoj formi (KNF) ako predstavlja konjunkciju klauza, gde je klauza disjunkcija literala. Kao normalna forma, korisna je u automatskom dokazivanju teorema.

Sve konjunkcije literala i sve disjunkcije literala su u KNF, jer se mogu posmatrati kao konjunkcije jednočlanih literala, ili kao disjunkcije jedne klauze, redom. Kao i kod disjunktivne normalne forme (DNF), jedini iskazni veznici koje formula u KNF može da sadrži su I, ILI, i NE. Operator negacije može da se koristi samo kao deo literala, što znači da može da stoji samo pre iskazne promenljive.

Primeri i kontraprimeri[uredi - уреди]

Sledeće formule su u KNF:

\neg A \wedge (B \vee C)
(A \vee B) \wedge (\neg B \vee C \vee \neg D) \wedge (D \vee \neg E)
(\neg B \vee C)
A \wedge B.

Poslednja formula je u KNF, jer se može posmatrati kao konjunkcija dve jednočlane klauze A i B. Međutim, ova formula je i u disjunktivnoj normalnoj formi. Sledeće formule nisu u KNF:

\neg (B \vee C)
(A \wedge B) \vee C
A \wedge (B \vee (D \wedge E)).

Gornje tri formule su redom ekvivalentne sledećim trima formulama koje jesu u konjunktivnoj normalnoj formi:

\neg B \wedge \neg C
(A \vee C) \wedge (B \vee C)
A \wedge (B \vee D) \wedge (B \vee E).

Konverzija u KNF[uredi - уреди]

Svaka iskazna formula se može transformisati u logički ekvivalentnu formulu, koja je u KNF. Ova transformacija koristi pravila logičke ekvivalencije: eliminaciju dvostruke negacije, De Morganove zakone, i zakon distributivnosti.

Kako se sve logičke formule mogu transformisati u ekvivalentne formule u KNF, dokazi se obično baziraju na pretpostavci da su sve formule u KNF. Međutim, u nekim slučajevima, ova konverzija u KNF može da dovede do eksponencijalne eksplozije (rasta dužine) formule. Na primer, transformisanje sledeće formule u KNF proizvodi formulu sa 2^n klauza:

(X_1 \wedge Y_1) \vee (X_2 \wedge Y_2) \vee \dots \vee (X_n \wedge Y_n).

Dobija se formula:

(X_1 \vee \cdots \vee X_{n-1} \vee X_n) \wedge 
(X_1 \vee \cdots \vee X_{n-1} \vee Y_n) \wedge
\cdots \wedge
(Y_1 \vee \cdots \vee Y_{n-1} \vee Y_n)

to jest, ova formula sadrži 2^n klauza: u svakoj klauzi se nalazi bilo X_i ili Y_i za svako i.

Postoje transformacije formula u KNF koje čuvaju zadovoljivost ali ne i ekvivalenciju, ali i ne proizvode eksponencijalni rast formula. Za ove transformacije se garantuje da formule povećavaju samo linearno, ali uvode nove promenljive. Na primer, gornja gormula se može transformisati u KNF dodavanjem promenljivih Z_1,\ldots,Z_n na sledeći način:

(Z_1 \vee \cdots \vee Z_n) \wedge
(\neg Z_1 \vee X_1) \wedge (\neg Z_1 \vee Y_1) \wedge
\cdots \wedge 
(\neg Z_n \vee X_n) \wedge (\neg Z_n \vee Y_n)

Neka interpretacija zadovoljava ovu formulu samo ako barem jedna od novih promenljivih ima vrednost tačno. Ako je to promenljiva Z_i, onda takođe X_i i Y_i imaju vrednost tačno. Ovo znači da svaki model koji zadovoljava dobijenu formulu zadovoljava i početnu. Sa druge strane, samo neki modeli originalne formule zadovoljavaju ovu novu, jer se Z_i ne spominje u početnoj formuli, pa njihove vrednosti nisu od značaja za nju, dok jesu za novu formulu. Ovo znači da su početna formula i rezultat transformacije ekvizadovoljivi, ali ne i ekvivalentni.

Logika prvog reda[uredi - уреди]

U logici prvog reda, konjunktivna normalna forma se može transformisati dalje u klauzalnu normalnu formu, koja je od koristi za metod rezolucije.

Računska složenost[uredi - уреди]

Važan skup problema u računskoj složenosti podrazumeva nalaženje takvih dodela promenljivima bulovske formule u konjunktivnoj normalnoj formi, da formula ima vrednost tačno. k-SAT problem je problem nalaženja zadovoljavajuće dodele bulovskoj formuli iskazanoj u KNF, tako da svaka disjunkcija sadrži najviše k promenljivih. 3-SAT je NP-kompletan problem (kao i svaki drugi k-SAT, gde je k>2) osim 2-SAT, za koga je poznato rešenje u polinomijalnom vremenu.

Transformisanje iz logike prvog reda[uredi - уреди]

Transformisanje formule predikatskog računa u KNF podrazumeva sledeće korake:

  1. Transformisanje u negacijsku normalnu formu. Eliminišu se implikacije: x \rightarrow  y se zameni sa \neg x \vee y
  2. Negacije se uvuku unutar zagrada
  3. Standardizuju se promenljive
  4. Skolemizuje se iskaz
  5. Eliminišu se univerzalni kvantifikatori
  6. Primeni se distributivnost na disjunkcije i konjunkcije.[1]

Izvori[uredi - уреди]

  1. (Artificial Intelligence: A modern Approach [1995...] Russel and Norvig)

Vidi još[uredi - уреди]

Spoljašnje veze[uredi - уреди]