Aritmetika

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretragu

Aritmetika je grana matematike koja beleži osnovne osobine određenih operacija sa brojevima. Dolazi od grčke reči arithmetike, koja se sastoji od dve reči: arithmos (broj) i techne (umeće).

Postoje četiri operacije:

iako se ponekad ovde uvrštavaju i naprednije operacije, kao što su dizanje na kvadrat (kvadriranje) i vađenje korena (korenovanje). U aritmetici postoji prvenstvo operacija gde množenje i deljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem. Stavljanjem u zagrade, koje imaju prednost u odnosu na druge operacije, je moguće promeniti redosled izračunavanja u izrazima.

Aritmetika prirodnih, celih, racionalnih (u obliku razlomaka) i realnih brojeva (koji imaju decimale) obično se uči u osnovnoj školi. Tada se uči i procentni račun, odnosno predstavljanje brojeva pomoću postotaka. Ipak, većina odraslih oslanja se na kalkulatore, računare ili abakuse da bi izračunala aritmetičke operacije.

Pojam "aritmetika" koristi se i za osnovnu teoriju brojeva; u tom kontekstu se pojavljuju i Osnovna teorema aritmetike i aritmetičke funkcije.

Tablica množenja[uredi | uredi kod]

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 147 154 161 168 175
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 168 176 184 192 200
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 189 198 207 216 225
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 231 242 253 264 275
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 252 264 276 288 300
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 273 286 299 312 325
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280 294 308 322 336 350
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360 375
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320 336 352 368 384 400
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340 357 374 391 408 425
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360 378 396 414 432 450
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380 399 418 437 456 475
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500
21 21 42 63 84 105 126 147 168 189 210 231 252 273 294 315 336 357 378 399 420 441 462 483 504 525
22 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264 286 308 330 352 374 396 418 440 462 484 506 528 550
23 23 46 69 92 115 138 161 184 207 230 253 276 299 322 345 368 391 414 437 460 483 506 529 552 575
24 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480 504 528 552 576 600
25 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625


Sabiranje[uredi | uredi kod]

Sabiranje je osnovna računska operacija aritmetike. U svom najjednostavnijem obliku, sabrati dva broja znaći naći broj

Primjeri

Može se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja s nekim brojem je najosnovniji oblik brojanja.

Sabiranjem broja i nekog broja dobijamo taj broj.

5+0=5</math>

je neutralni element za sabiranje

Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.

To je inverzan element za sabiranje.

Važi zakon komutacije

Važi zakon asocijacije

Sabrati možemo i geometrijski, kao u sljedećem primjeru:

Ako imamo dva štapića dužine i i ako ih stavimo jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića. Dobićemo štap čija je dužina

.

Oduzimanje[uredi | uredi kod]

Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj od broja znaći naći broj odnosno znaći naći zbir brojeva i . To zapisujemo

Imamo sljedeće slučajeve

  • Ako je onda je
  • Ako je a>b onda je
  • Ako je a=b onda je

Za oduzimanje ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Množenje[uredi | uredi kod]

Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj , a to je

Primjer

Za množenje važi zakon komutacije

i asocijacije

Ako broj pomnožimo sa (neutalni element) dobićemo bro

Ako broj pomnožimo sa recipročnom vrijednosti broja dobićemo broj .

Ovo je inverzan broj.

Bilo koji broj može imati recipročnu vrijednost osim .

Dijeljenje[uredi | uredi kod]

Dijeljenje je inverzna računska operacija množenju. Nije definisano dijeljenje brojem .

Podijeliti 2 broja znaći naći broj odnosno naći proizvod broja i recipročne vrijednosti beoja .

To znaći

Imamo slučajeve

  • Za
  • Za
  • Za

Ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Za dijeljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.

Decimalni prikaz brojeva[uredi | uredi kod]

Sve vrste zapisa brojeva možemo zapisati decimalnim zapisom.

Primjer

zapis broja

Ovaj zapis brojeva obuhvata sva pravila aritmetičkih operacija