Reuleauxov trokut

Reuleauxov trokut je lik s konstantnim promjerom, baziran na jednakostraničnom trokutu.

Reuleauxov poligon je krivulja konstantne širine - to jest, krivulja čiji su svi promjeri iste duljine. Najpoznatiji oblik je Reuleauxov trokut. Ime je dobio po Franzu Reuleauxu, njemačkom inženjeru iz 19. stoljeća, mada je takav trokut bio poznat i prije njega.

Reuleauxov trokut najjednostavniji je netrivijalni primjer krivulje s konstantnom širinom - krivulja kod koje su jednako udaljene dvije suprotne paralelne tangente, nebitno od smjera tih paralela. (Trivijalni primjer je krug.)

Konstrukcija

Konstrukcija Reuleauxovog trokuta

Konstrukcija Reuleauxovog trokuta počinje na jednakostraničnom trokutu. Šestar se postavi u jedan od vrhova i opiše kružni luk između druga dva vrha. To se ponovi i za ostale vrhove. Zatim se obriše početni trokut. Rezultat je krivulja konstantne širine. Ekvivalentno, za zadani trokut T čije su stranice a, uzeti granicu presjeka kružnica s polumjerom a koje su konstruirane iz vrhova trokuta T.

Po Blaschke-Lebesgue teoremu, Reuleauxov trokut ima najmanju površinu od svih krivulja konstantne širine. Ta površina je ${1 \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})d^{2}$, gdje je d konstantni promjer, što je za oko 11,4 % manje od površine kruga istog promjera.

Reuleauxov trokut može se generalizirati na pravilne poligone s neparnim brojem stranica. Tako su, na primjer, izrađene britanske kovanice od 20 i 50 penija.

Primjena

Reuleauxov trokut koji rotira u kvadratu konstantnih dimenzija.

• Rotor Wankelova motora sličan je Reuleauxovom trokutu.
• Svrdlom u obliku Reuleauxovog trokuta može se izbušiti rupa koja je skoro savršen kvadrat (98,77 % površine, sa zaobljenim kutovima). Takvo svrdlo je 1914. projektirao i patentirao Harry Watts. To je svrdlo konkavno na tri mjesta, što omogućuje sječenje kutova kvadrata i odstranjivanje strugotine. Vođenje osi svrdla je po kružnici, kao što pokazuje slika desno.

Trodimenzionalna verzija

Presjek lopti polumjera r iz središta pravilnog tetraedra čija je stranica r zove se Reuleauxov tetraedar, ali nije ploha konstantne širine. No, može se napraviti da bude ploha s konstantnom širinom, koji se zove Meissnerov tetraedar, tako što se bridni lukovi zamijene krivim umecima; alternativno, rotacijska ploha Reuleauxovog trokuta kroz jednu njegovu os simetrije formira plohu konstantne širine, s najmanjim obujmom od svih rotacijskih ploha zadane konstantne širine.

Vanjske veze

• Drilling Square Holes Arhivirano 2005-04-04 na Wayback Machine-u - Bušenje kvadratnih rupa
• Weisstein, Eric W. "Reuleaux Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. - Reuleauxov trokut na Web stranici MathWorld