Paskalov trougao

Izvor: Wikipedia
          1
        1   1
      1   2   1
    1   3   3   1
  1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1
Prvih šest kolona paskalovog trougla

Paskalov trougao predstavlja beskonačan niz prirodnih brojeva, koji je u obliku piramidalne šeme. Svaki broj u jednom redu predstavlja zbir brojeva koji su iznad njega. Krajnji brojevi šeme su uvek jedinice. Ovi brojevi posmatrani po vrstama ponašaju se kao binomni koeficijenti. Naziv je dobio po matematičaru Blezu Paskalu.

Na primer, k-ti broj u n-tom redu je jednak {n \choose k} i čita se kao n nad k. Zbog simetričnosti redova, nije bitno da li se broji sleva ili sdesna.


Paskalov trougao

U početnu vrstu upisuje se 1. Pretpostavljajući da svaka vrsta počinje i završava se sa po jednom nulom (ove nule se ne pišu), svaka vrsta se obrazuje pomoću prethodne sabiranjem po dva uzastopna člana u prethodnoj vrsti i ispisivanjem svakog zbira u sredini razmaka između sabiraka.


  1. Zbir Sn brojeva u n-toj vrsti je udvostručen zbir Sn-1 brojeva u prethodnoj vrsti. To je zato što se među članovima n-te vrste koji obrazuju sumu Sn po dva puta javlja svaki od brojeva iz prethodne vrste.
  2. U svakoj vrsti, dva od krajeva jednako udaljena člana međusobno su jednaka. Kod prvih vrsta može se zapaziti simetrija u odnosu na vertikalnu osu figure. Prema pravilu po kom formiramo vrste, ova simetrija prelazi sa svake vrste na sledeću i tako se beskrajno nastavlja.
  3. U svakoj vrsti, zbir elemenata parnih rednih brojeva i zbir elemenata neparnih rednih brojeva je jednak. Svaki od njih je zbir u kome po jedanput figuriše svaki od elemenata prethodne vrste.
  4. Elemenat koji nastaje sabiranjem uzastopnih elemenata a i b prethodne vrste (a se nalazi levo a b desno), jednak je zbiru brojeva na koje se nailazi penjući se bilo od a po paraleli leve stranice trougla, bilo od b po paraleli desne stranice. Mogu se izvršiti numerička proveravanja, na primer za broj 15, koji se nalazi u sedmoj vrsti: (5+4+3+2+1 i 10+4+1)
  5. Može se primetiti da u napisanim vrstama članovi rastu ukoliko se približavamo središnjoj koloni. Jasno je da, ako ovaj zakon važi za jednu vrstu, važi i za sledeću. On je dakle, opšti. Svaka vrsta neparnog rednog broja ima član koji je jednako udaljen od krajeva, veći je od svih ostalih brojeva.


E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Paskalov trougao koji govori o matematici je u začetku. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.