Limes (matematika)

Izvor: Wikipedia

Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.

Limes niza[uredi - уреди]

Neka je (a_n) niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz  (a_n) konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi  (\forall \epsilon > 0(\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n\in \mathbb{N} , n> n_0 \Rightarrow |a_n - L|< \epsilon). Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz  (z_n) možemo pisati kao  z_n=a_n+ib_n , gdje su  a_n i  b_n realni nizovi. Ako niz  z_n konvergira k z=a+ib , onda vrijedi da je \lim_{n} a_n=a i isto za niz b_n (što je lagano za pokazati).

Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.

Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove  (a_n),(b_n)\subseteq \mathbb{R} takve da \lim_{n} a_n=A,\lim_{n} b_n=B i  c \in \mathbb{R} vrijedi:

 \lim_n (a_n+b_n)=A+B
 \lim_n (c\cdot a_n)=c\cdot A
 \lim_n (a_n\cdot b_n)=A\cdot B
 B\neq 0 \Rightarrow \lim_n \frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}
 |\lim_n a_n|=\lim_n |a_n|

Limes funkcija[uredi - уреди]

Neka je \emptyset  \neq I \subseteq \mathbb{R} ,  c\in \langle a,b \rangle ,\langle a,b \rangle \setminus \{c\}  \subseteq I i  f: I \rightarrow \mathbb{R} funkcija. Kažemo da ƒ ima limes  L\in \mathbb{R} u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi  ((a_n) \subseteq \langle a,b \rangle \setminus \{c\}, \lim_n a_n =c \Rightarrow \lim_n f(a_n)=L što pišemo  \lim_{x \rightarrow c} f(x)=L . To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo jeli c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.

Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je f:I \rightarrow \mathbb{R}, I \subseteq \mathbb{R} . Kažemo da ƒ ima limes  L\in \mathbb{R} u c\in I ako vrijedi  (\forall \epsilon > 0) (\exists \delta > 0) (x\in I , 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)