Konstantna funkcija

malo

U matematici konstantna funkcija je funkcija čija je vrijednost ista za sve vrijednosto promjenljive.

Primjer

$y(x)=4$

Definicija

malo

Funkcija $f:A\rightarrow B$, koja preslikava skup $A$ u skup $B$ je konstantna funkcija ako za sve vrijednosti $x$ i $y$ iz $A$ važi: $f(x)=f(y)$, odnosno ako za sve vrijednosti domena daje uvijek istu vrijednost kodomena.

Kao realna funkcija konstantna funkcija ima opšti oblik

$y(x)=c$ ili samo $y=c$.

• 
  Opšta konstantna funkcija
• 
  Konstantna funkcija $z(x,y)=2$
• 
  Konstantna polarna funkcija $\varphi =2,5$

Primjer

Funkcija

$y(x)=2$ ili $y=2$ je specifična konstanta funkcija gdje je vrijednost funkcije $c=2$.

Domena funkcije je skup svih realnih brojeva $\mathbb {R}$

Kodomena ove funkcije je samo ${\begin{Bmatrix}2\end{Bmatrix}}$. Odnosno

$y(0)=2$

$y(2,5)=2$

Osobine

• Graf konstantne funkcije $y=C$ je horizontalna prava u ravni koja prolazi kroz tačku $(0,c)$. To je polinom stepena 0.
• Ne-nula konstantna funkcija je polinom stepena 0 i njegov opšti oblik je $f(x)=c\ \,c\neq 0$. Ova funkcija nema sjecište s x osom, to jest, nema nula.
• Polinom $f(x)=0$ je nula funkcija. To je trivijalna konstantna funkcija i svaki $x$ je nula funkcije. Njegov graf je x-osa u ravni.
• Konstantna funkcija je i funkcija čiji je graf simetričan u odnosu na y-osu.
• Konstantna funkcija je neprekidna, omeđena, parna, monotona, nema vertikalne ni kose asimptote te je sama sebi horizontalna asimptota u oba kraja.
• Konstantna funkcija ima izvod 0.

Pišemo

$(c)'=0$.

Vrijedi i obrnuto

Ako $y'(x)=0$ vrijedi za sve realne brojeve x, onda je $y(x)$ je konstantna funkcija.

Odnosno

Ako je $f$ realna funkcija realne promenljive definisana na nekom intervalu, onda je $f$ konstantna ako i samo ako je njen izvod u svakoj tački $0$.

Primjer

$y(x)=-{\sqrt {2}}=>y(x)'=(-{\sqrt {2}})'=0$

• Svaka konstantna funkcija čiji su domen i kodomen jednaki je idempotentne.
• Svaka konstantna funkcija među topoloških prostora je kontinualna.
• U povezanom skupu, funkcija je lokalno konstantna ako i samo ako je konstantna.

Konstantna polinomna funkcija

Kod polinomnih funkcija, svaka ne-nula konstantna polinomna funkcija se naziva polinomom nultog stepena.

Polinom $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ je nula polinomom, ako su mu svi koeficijenti 0( nula), odnosno $a_{i}=0$, gdje je $i=0,1,2,...,n$.

Polinom $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ je konstantni polinomom, ako su $a_{i}=0$, gdje je $i=1,2,...,n$ tj. ako su mu svi koeficijenti osim $a_{0}$ bili nula, gdje $a_{0}$ može biti proizvoljno.

Prazna funkcija

Prazna funkcija je funkcije čiji je domen prazan skup

$f_{A}:\varnothing \rightarrow A$.

U literaturi može se naći definisanu kao konstantnu funkciju. Međutim, ako se ta funkcija posmatra u topološkim prostorima, dolazi do spornih pitanja treba li je definisati kao konstantnu funkciju ili ne.

Izvori

Konstantna funkcija na Wikimedijinoj ostavi

• Constant Function
• constant function 21.03.2013 Arhivirano 2017-12-27 na Wayback Machine-u
• Konstantna funkcija