Zlatni trougao

U matematici zlatni trougao je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak zlatnom broju.

${a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.$

$\Theta =2sin^{-1}({\frac {b}{2a}})=2sin^{-1}({\frac {b}{2\varphi }}={\frac {\pi }{5}}$

Može se naći  unutar pravilnog  Ikosaedra, dodekaedra i petougla, pentagrama, desetougla..

$\theta =\cos ^{-1}\left({\varphi \over 2}\right)={\pi \over 5}=36^{\circ }.$

Kako je zbir uglova trougla 180^o, to su uglovi na osnovici zlatnog trougla po 72^o.

To je jedini trougao kod koga se uglovi nalaze u omjeru $2:2:1.$

$a:b={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Sa slike je

$sin({\frac {\alpha }{2}})={\frac {\frac {a}{2}}{b}}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}=sin({\frac {\pi }{10}})$

Iz ovog slijedi da je

${\frac {\alpha }{2}}={\frac {\pi }{10}}=>\alpha ={\frac {\pi }{5}}=>\alpha =36^{o}$

Pomoću ovog trougla crta se logaritamska spirala

Svi zlatni trouglovi su slični. To proizlazi iz stava U-U-U o sličnosti trouglova.

Omjer poluprečnika pravilnom desetetouglu opisane kružnice i dužine stranice toga desetougla jednak je zlatnom broju.

$R={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}a$

Zlatni trougao nalazimo i unutar pravilnog petougla

$S_{5}=(5-2)180^{o}=540^{o}$

$\gamma =540^{o}/5=108^{o}$

$\delta =(08^{o}-\gamma )/2=36^{o}$

$\beta +\delta =108^{o}=>\beta =72^{o}$

Zlatni gnomom je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak ${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$.Njegovi uglovi su $36^{o},36^{o},108^{o}$