Rotor (matematika)

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

U vektorskoj analizi i teoriji polja, rotor ili rotacija (rot, eng. curl) je veličina koja odražava svojstva vektorskoga polja u prostoru. Najviše se primjenjuje u fizici, pogotovo u elektromagnetizmu i hidrodinamici.

Definicija[uredi - уреди | uredi izvor]

Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja

Pogledajmo linijski integral vektorskog polja duž zatvorne krivulje koja ograničava površinu . Premostimo krivulju nekim lukom, tako da je vanjska krivulja razdvojena na dvije (). Pri integriranju sada udio imaju samo vanjski dijelovi početne linije, jer se po luku integrira jednom u jedom, a drugi put u suprotom smijeru pa se taj integral poništava (v. sl.). Naravno, isto se događa i za velik broj razdioba početne površine :

Uzmimo sada omjer te vrijednosti i infinitezimalno malog dijela površine koji okružuje krivulja . Pustimo li da , odnosno , dobivamo graničnu vrijednost koja predstavlja skalarnu veličinu pridruženu određenoj točki prostora, pa je stoga možemo smatrati komponentom vektora. Pomnožimo li dati izraz s vektorom normale , dolazimo upravo do definicije rotacje ili rotora vektorskog polja:

Svojstva i pretpostavke[uredi - уреди | uredi izvor]

Nije nužno da ploha omeđena krvuljom koju promatramo leži u ravnini, traži se jedino da ta ploha nema singularnosti.

Nadalje, pretpostavlja se da se vektor normale ne mijenja dok se element plohe smanjuje k nuli. Rotor je, kao i Divergencija, također invarijanta vektorskog polja.

Rotor u kartezijevu sustavu[uredi - уреди | uredi izvor]

Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja

Kako bismo izveli izraz za rotor u kartezijevu sustavu, napravimo integraciju po rubu pravokutnika paralelnog s - ravinom (), kao na sl.

Uvršatavanjem u definiciju rotacije, te potpunom analogijom, imamo:

Očito u danoj fomuli možemo prepoznati simbolički zapisanu determinantu:

Nadalje, očito je

pa često označavamo s , gdje je Hamiltonov operator.

Rotacija i Stokesov teorem[uredi - уреди | uredi izvor]

Za rotaciju vrijedi Stokesov teorem

Izrazi za rotaciju u drugim koordinatnim sustavima[uredi - уреди | uredi izvor]

Rotacija i algebarske operacije[uredi - уреди | uredi izvor]

Neka su dana vektorska polja i , skalar , skalarna funkcija i radij-vektor . Tada vrijedi:


Primjeri[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Rotor elektrostaskog polja točkastog naboja, :
  • Rotor vektorskog polja obodne kružne brzine, (v. sl.).
Shematski prikaz uz rotaciju polja obodne brzine

Odatle se lako mogu iščitati komponente kutne brzine:

Na ovom primjeru primijetimo: vektor brzine je polarni vektor, a vektor je aksijalni vektor. Međutim, to vrijedi i općenito: rotor polarnog vektora je aksijalni vektor, a rotor aksijalnog vektora je polarni vektor.

Vezani pojmovi[uredi - уреди | uredi izvor]

Vanjske poveznice[uredi - уреди | uredi izvor]