Relacije neodređenosti

U kvantnoj mehanici, Hajzenbergov princip neodređenosti daje u obliku preciznih nejednakosti da određeni parovi fizičkih svojstava, kao što su pozicija i momenat, ne mogu da budu istovremeno poznati sa arbitrarno visokom preciznošću. Drugim rečima, što je preciznije jedno svojstvo izmereno, to se manje precizno drugo svojstvo može izmeriti.

Hajzenbergove relacije neodređenosti

Rezultat idealnog merenja u kvantnoj fizici je uvek karakterisan statističkom raspodelom. Standardna devijacija ove raspodele predstavlja neodređenost datog merenja i što je ona veća, to je veća i neodređenost. Klasična fizika pretpostavlja da je uvek moguće istovremeno meriti proizvoljan broj fizičkih veličina sa proizvoljno malim neodređenostima. Ova pretpostavka ne važi u kvantnoj fizici i u opštem slučaju takvo merenje više nije moguće te se stoga mora formulisati novi princip koji će dati vezu između neodređenosti istovremeno merenih veličina. Ovakav princip je istorijski prvi formulisao Verner Hajzenberg 1927. godine za položaj i impuls. Matematički formulisan on glasi

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},$

tj, proizvod neodređenosti merenja položaja i impulsa je uvek veći ili jednak polovini redukovane plankove konstante. Ovo znači da što preciznije merimo položaj kvantnog objekta, istovremeno merenje impulsa će biti neodređenije i obrnuto. Uzrok ovog ponašanja ne leži u nesavršenosti mernih instrumenata ili opita već je reč o opštem matematičkom principu koji sledi iz međusobnog odnosa fizičkih veličina. Budući da je vrednost konstante na desnoj strani hajzenbergove nejednakosti reda veličine 10^-35 Džul-sekundi relacije neodređenosti nisu značajne u makrosvetu.

Interpretacija

U svetlu čestično-talasnog dualizma relacije neodređenosti dobijaju svoju fizičku interpretaciju. Ako česticu posmatramo kao talas tada njegova amplituda odgovara položaju, a talasna dužina je obrnuto proporcionalna impulsu. U tom slučaju lokalizovanoj čestici odgovara talas sa oštrim vrhom i sa velikom amplitudom. Da bi se dobio tako oštar vrh neophodno je da talasna dužina bude mala što odgovara velikom impulsu i njegovoj velikoj neodređenosti.

Neusvojen prijevod - Heinsenbergov Princip Neizvjesnosti - Osvrt na preciznost prijevoda, u temeljnom naćelu, sve dok se jedna jedinica mjere (pozicija-moment) mjeri, poldiježe zakonu varijacije te kao takva je varijabla a ne konstanta, dok je druga uvijek varijabla, budući da preciznost prve utječe na nepreciznost druge, time dolazimo do kvalitetnijeg prijevoda u kojem Odredjenost više odgovara jedinicama konstante, što u ovom slućaju nije istinito. Budući da varijabla nije izvjesna, prijevod Princip Neizvjesnosti poprima bolju upotrebu.

Uopštenje relacija neodređenosti

Za opservable predstavljene operatorima ${\hat {A}}$ i ${\hat {B}}$ relacija koja povezuje njihove neodređenosti $\Delta A$ i $\Delta B$ u datom stanju sistema, glasi:

$\Delta A\Delta B\geq {\frac {1}{2}}|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle |$

, gde $\langle \rangle$ označava očekivanu vrednost u datom stanju. Ovaj stav je matematičke prirode i on pokazuje da su relacije neodređenosti inherentne strukturi kvantne mehanike.

Odavde se direktno uočava da se opservable čiji operatori komutiraju mogu istovremeno meriti sa proizvoljnom tačnošću.

Relacije neodređenosti za energiju i vreme

Druga poznata relacija neodređenosti se odnosi na energiju i vreme i ona je identična relaciji koja važi za položaj i impuls. Ona glasi

$\Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Međutim, ova relacija se ne može trivijalno izvesti iz opštih relacija neodređenosti budući da u nerelativističkoj kvantnoj mehanici vreme nije opservabla. Iako je Pol Dirak razvijajući svoju relativističku kvantnu mehaniku ponudio precizno i dobro definisano izvođenje koje vreme tretira simetrično sa ostalim koordinatima, danas je uobičajeno da se koristi sledeća rigoroznija relacija

$\Delta E{\frac {\Delta B}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

, gde $\tau _{B}={\frac {\Delta B}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}$ predstavlja minimalno vreme u toku kojega možemo uočiti promenu opservable B. Ovo minimalno vreme se uzima kao neodređenost vremena.

Literatura

• Amrein, W.O.; Berthier, A.M. (1977). "On support properties of L^p-functions and their Fourier transforms". Journal of Functional Analysis 24 (3): 258–267. doi:10.1016/0022-1236(77)90056-8. 
• Benedicks, M. (1985), "On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure", J. Math. Anal. Appl. 106, DOI:10.1016/0022-247X(85)90140-4 .
• Bonami, A.; Demange, B.; Jaming, Ph. (2003), "Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms.", Rev. Mat. Iberoamericana 19 .
• Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (1997), "The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey", Journal of Fourier Analysis and Applications 3 (3), DOI:10.1007/BF02649110, MR98f:42006, http://www.springerlink.com/content/f7492v6374716m4g/fulltext.pdf 
• Hardy, G.H. (1933), "A theorem concerning Fourier transforms", J. London Math. Soc. 8, DOI:10.1112/jlms/s1-8.3.227 .
• Havin, V.; Jöricke, B. (1994), The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag .
• Heisenberg, W. (1927), "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik", Zeitschrift für Physik 43, DOI:10.1007/BF01397280 . English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62-84.
• Hörmander, L. (1991), "A uniqueness theorem of Beurling for Fourier transform pairs", Ark. Mat. 29 .
• Jaming, Ph. (2007), "Nazarov's uncertainty principles in higher dimension", J. Approx. Theory 149, DOI:10.1016/j.jat.2007.04.005 .
• Mandelshtam, Leonid; Tamm, Igor (1945), "The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics", Izv. Akad. Nauk SSSR (ser. Fiz.) 9, http://daarb.narod.ru/mandtamm/index-eng.html . English translation: J. Phys. (USSR) 9, 249–254 (1945).
• Nazarov, F. (1994), "Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type,", St. Petersburg Math. J. 5 .
• Sitaram, A (2001). "Uncertainty principle, mathematical". u: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. http://eom.springer.de/U/u130020.htm. .
• Zheng, Q.; Kobayashi, T. (1996), "Quantum Optics as a Relativistic Theory of Light", Physics Essays 9, DOI:10.4006/1.3029255 . Annual Report, Department of Physics, School of Science, University of Tokyo (1992) 240.
• W. Heisenberg (1930). Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. Leipzig: Hirzel. 
• Bohr, Niels (1958). Atomic Physics and Human Knowledge. New York: Wiley. str. 38. 
• W. Heisenberg (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. 43. str. 172-198. DOI:10.1007/BF01397280.