Prava i ravan

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Split-arrows 2.svg Predloženo je da se ovaj članak podjeli na više članaka.
Molimo vas da svoje mišljenje o ovom prijedlogu iznesete na stranici za razgovor.

Tačka, prava i ravan su osnovni pojmovi geometrije. Neka su prava i ravan skupovi tačaka. Oni se ne definišu i njihove osobine daju se aksiomima.

Aksiomi prave[uredi - уреди | uredi kôd]

  1. Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj
  2. Svaka prava sadrži najmanje dvije različite tačke.
  3. Postoje tri nekolinearne tačke

Dvije tačke su uvijek kolinearne

Presjek dvije prave[uredi - уреди | uredi kôd]

Za dvije prave koje imaju jednu zajedničku tačku kažemo da se sijeku. Zajednička tačka te dvije prave naziva se sjecište ili presječna tačka. a ∩ b={C}

Kolinearne i nekolinearne tačke[uredi - уреди | uredi kôd]

Za tačke koje leže na jednoj pravoj kažemo da su kolinearne tačke. Za tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj kažemo da su nekolinearne. Postoje tri nekolinearne tačke

Posljedice[uredi - уреди | uredi kôd]

  1. Dvije različite prave imaju najviše jednu zajedničku tačku
  1. Van svake dvije prave postoji bar jedna tačka.

Paralelne i mimoilazne prave[uredi - уреди | uredi kôd]

Za dvije prave koje leže u jednoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka kažemo da su paralelne. Za prave koje ne leže u jednoj ravni kažemo da su mimoilazne. Za dvije prave a i b važi:

  1. Ako je a ∩ b={A,B}=> a=b
  2. Ako je a ∩ b={A} sijeku se
  3. Ako a i b nemaju zajedničkih tačaka a ║ b

Udaljenost paralelnih pravi[uredi - уреди | uredi kôd]

Neka je data tačka M jedne prave i njena projekcije M' na drugu pravu Traži se njena projekcija

.

Iz navedenih uslova određujemo koeficijent k, а sа njime određeno je i M'. Udaljenost tačaka M i M' je јеdnaka udaljenosti između paralelnih pravi a i b.

U trodimenzionalnom prostoru ova udaljenost je jednaka visini paralelograma kojeg čine vektori i . , a dobije se kao količnik površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenzitet vektora v.

Udaljenost mimoilaznih pravi[uredi - уреди | uredi kôd]

Da bi se odredila udaljenost dvije mimoilazne prave treba predstaviti vektor između njih, a zatim da se odrede parametri za koje će on biti minimalan. Neka je ovaj vektor w, a opšte tačke pravih a i b su M i N.odnosno biće:



intenzitet vektora je . Ovdje korijen ne utiče na vrijednost na koju parametri i α i β imaju za maximalnu vrijednost izraza korijen se može izbaciti. Sada ćemo odrediti prve izvode izraza pо α i po β. Dobijamo sistem dvije jednačine sa dvije nepoznate α i β, koji možemo riješiti.



Određujemo α и β i vrijednosti uvrstimo u jednačine prave a i b, Ove koordinate će predstavljati tačke, nazovimo ih i , .

Aksiom uređenosti prave[uredi - уреди | uredi kôd]

Prava je na određen način uređen skup

  1. Za tačke X,Y prave a važi X <Y ili Y<X (potpunost)
  2. Ako je X <Y onda nije Y<X (antisimetričnost)
  3. Ako je (X<Y) i( Y<Z) =>X<Z (tranzitivnost)
  4. Za tačku Y prave a postoje tačke X i Z na a tako da je X<Y i Y<Z( produžavanje prave)
  5. Za X i Z prave a postoji tačka Y takva da je X <Y( gusto uređen skup)


Dedekindov aksiom[uredi - уреди | uredi kôd]

Ako sve tačke prave podijelimo u dvije neprazne klase tako da je svaka klasa prve klase ispred svake tačke druge klase onda ili prva klasa ima svoju poslednju ili druga klasa svoju prvu tačku

Ravan[uredi - уреди | uredi kôd]

Ravan je određena sa aksiomama.


Aksiomi ravni

  1. Svake tri nekolinearne tačke pripadaju jednoj i samo jednoj ravni.
  2. Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke.
  3. Postoje 4 tačke koje ne pripadaju jednoj ravni

Komplanarne i nekomplanarne tačke[uredi - уреди | uredi kôd]

Za tačke koje leže u jednoj ravni kažemo da su komplanarne. Za 4 tačke koje ne leže u jednoj ravni kažemo da su nekomplanarne.

Aksiom prave i ravni[uredi - уреди | uredi kôd]

Ako ravan sadrži dvije različite tačke jedne prave onda ona sadrži tu pravu.

Posljedica[uredi - уреди | uredi kôd]

Ravan i prava koja ne leži u toj ravni mogu imati najviše jednu zajedničku tačku.

Teoreme o određenosti ravni[uredi - уреди | uredi kôd]

Teorema 1[uredi - уреди | uredi kôd]

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži dvije prave koje se sijeku.

Teorema 2[uredi - уреди | uredi kôd]

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži datu pravu i datu tačku koja ne pripada toj pravoj.

Teorma 3[uredi - уреди | uredi kôd]

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži dvije paralelne prave

Aksiom dviju ravni[uredi - уреди | uredi kôd]

Presjek dviju različitih ravni je prava.

Međusobni položaj prave i ravni[uredi - уреди | uredi kôd]

  1. a i α imaju bar dvije zajedničke tačke, onda a leži u α
  1. a i α imaju jednu zajedničke tačke, onda prava a siječe ravan α
  1. a i α nemaju zajedničkih tačaka, onda je prava a paralelna sa ravni α