Elipsa

Za stilsku figuru, pogledajte Elipsa (književnost)

Elipsa (starogrč. ἔλλειψις, nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni, koja se može defniisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja od dve fiksirane tačke uvek jednak. Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse, a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.

Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra.

Ose elipse su prave koje sadrže njene prečnike. Prva prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu.

Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug.

Analitička definicija

Analitički posmatrano, elipsa je kriva drugog reda:

$f(x,y)=\alpha _{11}x^{2}+2\alpha _{12}xy+\alpha _{22}y^{2}+2\alpha _{13}x+2\alpha _{23}y+\alpha _{33}=0\,$ (opšta jednačina krive drugog reda)

Koja zadovoljava sledeće uslove:

1. 
   $\Delta ={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{13}&\alpha _{23}&\alpha _{33}\end{vmatrix}}\neq 0$
   
   
2. 
   $\delta ={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}\\\end{vmatrix}}>0$
   
   
3. Za realnu elipsu: $T\cdot \Delta =(\alpha _{11}+\alpha _{22})\cdot \Delta <0$
   Za imaginarnu elipsu (prazan skup): $T\cdot \Delta >0$

Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama dekartovog koordinatnog sistema, ova jednačina izgleda ovako:

$\alpha _{11}x^{2}+\alpha _{22}y^{2}-\alpha _{33}=0\,$

Što se može zapisati i kao

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

U ovoj jednačini su a i b u stvari veličine poluprečnika elipse.

Površina

Površina elipse je:

$P=ab\pi$

gde su a i b poluprečnici elipse, a pi matematička konstanta.

Ekscentricitet

Ekscentricitet je konstanta karakterisitična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:

$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

gde su a i b dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sa c označi rastojanje između fokusnih tačaka elipse, e će biti:

$e={\frac {c}{a}}$

Obim

Obim elipse se može predstaviti na razne načine:

Beskonačni redovi:

$O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,$

Što je isto što i:

$O=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }$

Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravio Ramanudžan:

$O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,$

Koja se takođe može zapisati kao:

$O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,$

U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi:

$O\approx \pi a(9-{\sqrt {35}})/2\!\,$