Linearna transformacija – razlika između verzija
m Bot: popravljanje preusmjeravanja |
m robot kozmetičke promjene |
||
Red 4: | Red 4: | ||
== Definicija i direktne posledice == |
== Definicija i direktne posledice == |
||
Neka su ''V'' i ''W'' vektorski prostori nad istim [[polje (matematika)|poljem]] ''K''. Funkcija ''f'' : ''V'' → ''W'' |
Neka su ''V'' i ''W'' vektorski prostori nad istim [[polje (matematika)|poljem]] ''K''. Funkcija ''f'' : ''V'' → ''W'' je ''linearno preslikavanje'' ako za svaka dva vektora ''x'' i ''y'' iz ''V'' i svaki skalar ''a'' iz ''K'', važe sledeća dva uslova: |
||
{|cellpadding=20 |
{|cellpadding=20 |
||
Red 31: | Red 31: | ||
* Za realne brojeve, preslikavanje <math>x\mapsto x+1</math> nije linearno. |
* Za realne brojeve, preslikavanje <math>x\mapsto x+1</math> nije linearno. |
||
* Ako je |
* Ako je ''A'' ''m'' × ''n'' [[matrica (matematika)|matrica]], onda ''A'' definiše linearno preslikavanje iz '''R'''<sup>''n''</sup> u '''R'''<sup>''m''</sup> tako što šalje vektor kolona ''x'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> u vektor kolona ''Ax'' ∈ '''R'''<sup>''m''</sup>. Obratno, svako linearno preslikavanje između konačno-dimenzionih vektorskih prostora se može predstaviti na ovaj način. |
||
* [[Integral]] daje linearno preslikavanje iz prostora svih integrabilnih funkcija realne vrednosti na nekom [[interval (matematika)|intervalu]] u '''R''' |
* [[Integral]] daje linearno preslikavanje iz prostora svih integrabilnih funkcija realne vrednosti na nekom [[interval (matematika)|intervalu]] u '''R''' |
||
Red 37: | Red 37: | ||
* [[izvod|Diferenciranje]] je linearno preslikavanje iz prostora svih diferencijabilnih funkcija u prostor svih funkcija. |
* [[izvod|Diferenciranje]] je linearno preslikavanje iz prostora svih diferencijabilnih funkcija u prostor svih funkcija. |
||
==Literatura== |
== Literatura == |
||
* Ayres, Frank, ''Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra'', McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN |
* Ayres, Frank, ''Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra'', McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6. |
||
[[Kategorija:Funkcije i preslikavanja]] |
[[Kategorija:Funkcije i preslikavanja]] |
Verzija na datum 24 juni 2014 u 02:48
U matematici, linearno preslikavanje (takođe linearna transformacija ili linearni operator) je funkcija između dva vektorska prostora, koja očuvava operacije sabiranja vektora i skalarnog množenja. Izraz linearna transformacija se često koristi, posebno za linearna preslikavanje iz nekog vektorskog prostora u samog sebe (endomorfizmi).
U jeziku apstraktne algebre, linearno preslikavanje je homomorfizam vektorskih prostora, ili morfizam u kategoriji vektorskih prostora nad datim poljem.
Definicija i direktne posledice
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem K. Funkcija f : V → W je linearno preslikavanje ako za svaka dva vektora x i y iz V i svaki skalar a iz K, važe sledeća dva uslova:
aditivnost | |
homogenost |
Ovo je ekvivalentno zahtevu da za sve vektore x1, ..., xm i skalare a1, ..., am, važi jednakost
Ponekad može da se uzme da su V i W vektorski prostori nad različitim poljima. Tada je neophodno odrediti koje od ovih polja se uzima u definiciji linearnosti. Ako su V i W vektorski prostori nad poljem K kao u gornjem slučaju, radi se o K-linearnim preslikavanjima. Na primer konjugacija kompleksnih brojeva je R-linearno preslikavanje C → C, ali nije C-linearno.
LInearno preslikavanje iz V u K (gde se K posmatra kao vektorski prostor nad samim sobom) se naziva linearni funkcional.
Iz definicije direktno sledi da je f(0) = 0. Stoga se linearna preslikavanja ponekad nazivaju homogenim linearnim preslikavanjima (vidi: linearna funkcija).
Primeri
- Identiteta i nula-preslikavanje su linearni.
- Za realne brojeve, preslikavanje nije linearno.
- Za realne brojeve, preslikavanje nije linearno.
- Ako je A m × n matrica, onda A definiše linearno preslikavanje iz Rn u Rm tako što šalje vektor kolona x ∈ Rn u vektor kolona Ax ∈ Rm. Obratno, svako linearno preslikavanje između konačno-dimenzionih vektorskih prostora se može predstaviti na ovaj način.
- Integral daje linearno preslikavanje iz prostora svih integrabilnih funkcija realne vrednosti na nekom intervalu u R
- Diferenciranje je linearno preslikavanje iz prostora svih diferencijabilnih funkcija u prostor svih funkcija.
Literatura
- Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.