Tačka (geometrija)

Tačka je u geometriji entitet koji se nalazi u prostoru bez dužine i zapremine. U geometriji jedina informacija koju poseduje tačka je lokacija. Tačke se koriste kao jedan od osnovnih pojmova u geometriji, fizici, vektorskoj grafici i u mnogim drugim poljima. U matematici uopšteno, se smatra da se bilo koja forma prostora sastoji od tačaka kao osnovnih elemenata.

Tačke u Euklidovoj geometriji

Tačka u euklidovoj geometriji nema veličinu, pravac, smer, niti bilo koju drugu osobinu sem položaja. Na početku I knjige^[1] Euklidovih Elemenata stoje sledeće definicije:

Definicija 1

Tačka je ono što nema delova.

Definicija 3

Krajevi linije su tačke.

U traženju primata linije i tačke, Euklid navodi da je tačka osnovna, a linija je ono što sadrži tačke, dok Aristotel radije uzima liniju za osnovu, a tačka je ono što je na krajevima linije.

Međutim postoje različiti prevodi i interpretacije Euklidove definicije, među kojima i sledeće: "Tačka je ono što nema pružanje" kao najbolji prevod, ali nedovoljno jasan današnjem čitaocu originalne rečenice

ά Σημετόν έστιν, οϋ μέρος ούθέν

Definicija "Tačka je ono što nema meru" ne bi bila dobra jer tačka ima svoj položaj, a to jeste nekakva mera dužine (udaljenost od neke referentne tačke).

U današnjem jeziku je najprisutnija i terminologiji najbliža sledeća definicija, u smislu interpretacije Euklida

"Tačka je ono što nema dimenzije".

Tačke u Kartezijanskoj geometriji

Lokacija tačke u prostoru može biti opisana sa tri realna broja koji predstavljaju koordinate u trodimenzionalnom prostoru. Na primer:

P = (2,6,9).

Na ovaj način tačka se može opisati i u višedimenzionalnom prostoru. Opis tačke je sličan opisu vektora koji takođe može da postoji u višedimenzionalnom prostoru. Razlika između vektora i tačke je u tome što vektor ima i pravac i dužinu, zato se podrazumeva da je početna tačka vektora (0,0,0).

Tačka u prostoru dimenzije 2 ili veće

Svaka tačka koja pripada prostoru dimenzije n se da predstaviti sa jednom uređenom n-torkom skalara, koji pripadaju polju skalara nad kojim je izgrađen prostor a predstavljaju njene koordinate u tom prostoru. Tako bi na primer tačka P iz Eⁿ bila predstavljena kao P=(P₁,P₂,...,P_n) pri čemu su P_i iz E, i=1,..,n.

Rastojanje između dve tačke

Rastojanje između dve tačke iz prostora Eⁿ se u euklidovoj geometriji definiše kao zbir kvadrata razlika njihovih koordinata. Na primer:

$A=(A_{1},\dots ,A_{n}),B=(B_{1},\dots ,B_{n})\in E^{n}$
$d(A,B)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{(A_{i}-B_{i})}^{2}}}={\sqrt {(A_{1}-B_{1})^{2}+\dots +(A_{n}-B_{n})^{2}}}$

Bibliografija

• Anton Bilimović, Euklidovi Elementi, Prva knjiga, SANU, 1949