Vektor

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primeri vezani za geometriju u prostoru gde se vektor određuje pravcem, smerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

Operacije nad vektorima

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primer:

$a=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$, $a_{i}\in K$, $i=1,...,n$

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva $K^{n}$, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primer $a_{1}$ je prva koordinata vektora, $a_{2}$ je druga koordinata vektora itd.

Slede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni koren zbira kvadrata njegovih koordinata.

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}$
$|a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}$

Množenje vektora skalarom

Množenje vektora ${\overrightarrow {a}}\in K^{n}$ nekim skalarom $\alpha \in K$ je definisano kao množenje sake koordinate tok vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

$\alpha \cdot {\overrightarrow {a}}$ = $\alpha \cdot (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ = $(\alpha \cdot a_{1},\alpha \cdot a_{2},...,\alpha \cdot a_{n}).$

Sabiranje vektora

Sabiranje vektora

Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora $a,b\in K^{n}\,$:

${\overrightarrow {a}}=(a_{1},...,a_{n})$
${\overrightarrow {b}}=(b_{1},...,b_{n})$

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

$+:(K^{n},K^{n})\rightarrow K^{n}\,$
${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}$,
$c_{i}=a_{i}+b_{i}\,$, gde je $i=1,...,n\,$

Pri čemu će vektor c biti iz prostora $K^{n}\,$. Oduzimanje vektora bi se bršilo po sličnom principu:

${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+(-{\overrightarrow {b}})$

Pri čemu $-{\overrightarrow {b}}=(-b_{1},-b_{2},...,-b_{n})$.

Skalarno množenje vektora

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz $K^{n}$ u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz $K^{n}$ bi proizvod k izgledao ovako:

$\cdot :(K^{n},K^{n})\rightarrow K$
$k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}$, $k\in K$
$k=\sum _{k=1}^{n}{a_{i}\cdot b_{i}}$, gde je $i=1,...,n$

Ovde treba primetiti da je skalarni proizvod vektora takođe jednak

$k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=|a|\cdot |b|\cdot \cos \omega$,

pri čemu je $\omega$ ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}$

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore ($E^{3}\,$) je vektorski proizvod. Definiše se na sledeći način:

$\times :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}\,$

${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3}$
${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=$ ${\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=$ ${\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Jer su ${\overrightarrow {i}}=(1,0,0)$, ${\overrightarrow {j}}=(0,1,0)$ i ${\overrightarrow {k}}=(0,0,1)$ vektori kanonske baze $E^{3}\,$.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primetiti sledeće osobine:

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}\bot {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}$, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
$|{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|a||b|\sin \omega$, gde je $\omega$ ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})$, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
$(\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}=\alpha ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})$, gde je $\alpha \in E$. Tj. vektorski proizvod se lepo ponaša prema množenju skalarom sleva.

Mešoviti proizvod

Mešoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz $E^{3}$ preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa $[{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]$. A po definiciji je:

$[{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})\cdot {\overrightarrow {c}}=$ ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}},$ ${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}\in E^{3}$

Što znači da je vrednost mešovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slede neka osnovna svojstva nešovitog proizvoda:

• $[x,y,z]=-[y,x,z]$
• $[x,y,z]=[z,x,y]=[y,z,x]$
• $[\alpha x,y,z]=\alpha [x,y,z]$
• $[x+t,y,z]=[x,y,z]+[t,y,z]$

Vidi još

• Vektorski prostor