Parnost funkcije – razlika između verzija
m robot Dodaje: eo:Pareco de funkcioj |
m robot Dodaje: bg:Четна и нечетна функция; kozmetičke promjene |
||
Red 1: | Red 1: | ||
U [[Matematika|matematici]], '''parne funkcije''' i '''neparne funkcije''' su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji [[Stepeni red|stepenih redova]] i [[Furijeov red|Furijeovih redova]]. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija ''x''<sup>''n''</sup> je parna funkcija ako je ''n'' paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je ''n'' neparan ceo broj. |
U [[Matematika|matematici]], '''parne funkcije''' i '''neparne funkcije''' su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji [[Stepeni red|stepenih redova]] i [[Furijeov red|Furijeovih redova]]. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija ''x''<sup>''n''</sup> je parna funkcija ako je ''n'' paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je ''n'' neparan ceo broj. |
||
==Parne funkcije== |
== Parne funkcije == |
||
[[ |
[[Datoteka:Function x^2.svg|right|thumb|<math>f(x) = x^2,</math> primer parne funkcije]] |
||
Neka je ''f''(''x'') [[Realan broj|realna]] funkcija realne promenljive. Onda je ''f'' '''parna''' funkcija ako sledeće jednačine važe za svako ''x'' u domenu funkcije ''f'': |
Neka je ''f''(''x'') [[Realan broj|realna]] funkcija realne promenljive. Onda je ''f'' '''parna''' funkcija ako sledeće jednačine važe za svako ''x'' u domenu funkcije ''f'': |
||
:<math> |
:<math> |
||
Red 10: | Red 10: | ||
Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na ''y'' osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko ''y'' ose. |
Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na ''y'' osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko ''y'' ose. |
||
Primeri parnih funkcija su [[ |
Primeri parnih funkcija su [[apsolutna vrednost]], ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, [[Trigonometrijske funkcije|cos]](''x''), i [[Hiperbolične funkcije|cosh]](''x''). |
||
==Neparne funkcije== |
== Neparne funkcije == |
||
[[ |
[[Datoteka:Function-x3.svg|right|thumb|<math>f(x) = x^3,</math> primer neparne funkcije]] |
||
Ponovo, neka je ''f''(''x'') [[Realan broj|realna]] funkcija realne promenljive. Onda je ''f'' '''neparna''' funkcija ako sledeće jednačine važe za svako ''x'' u domenu funkcije ''f'': |
Ponovo, neka je ''f''(''x'') [[Realan broj|realna]] funkcija realne promenljive. Onda je ''f'' '''neparna''' funkcija ako sledeće jednačine važe za svako ''x'' u domenu funkcije ''f'': |
||
:<math> |
:<math> |
||
Red 23: | Red 23: | ||
Primeri neparnih fuknicja su ''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>4</sup>, [[Trigonometrijske funkcije|sin]](''x''), i [[Funkcija greške|erf]] (''x''). |
Primeri neparnih fuknicja su ''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>4</sup>, [[Trigonometrijske funkcije|sin]](''x''), i [[Funkcija greške|erf]] (''x''). |
||
==Neke činjenice== |
== Neke činjenice == |
||
[[ |
[[Datoteka:Function-x3plus1.svg|right|thumb|<math>f(x) = x^3+1</math> nije ni parna ni neparna funkcija]] |
||
Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak [[Neprekidna funkcija|neprekidnost funkcije]]. Svojstva koja uključuju [[Furijeov red|Furijeove redove]], [[Tejlorov red|Tejlorove redove]], izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje. |
Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak [[Neprekidna funkcija|neprekidnost funkcije]]. Svojstva koja uključuju [[Furijeov red|Furijeove redove]], [[Tejlorov red|Tejlorove redove]], izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje. |
||
===Osnovna svojstva=== |
=== Osnovna svojstva === |
||
*Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je [[ |
*Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je [[konstantna funkcija]] jednaka nuli (tj. ''f''(''x'') = 0 za svako ''x''). |
||
*[[Sabiranje|Zbir]] parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli. |
*[[Sabiranje|Zbir]] parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli. |
||
*Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija. |
*Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija. |
||
Red 48: | Red 48: | ||
*Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A). |
*Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A). |
||
===Redovi=== |
=== Redovi === |
||
*Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene. |
*Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene. |
||
*Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene. |
*Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene. |
||
Red 54: | Red 54: | ||
*Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo [[Trigonometrijske funkcije|sinusne]] članove. |
*Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo [[Trigonometrijske funkcije|sinusne]] članove. |
||
===Algebarske strukture=== |
=== Algebarske strukture === |
||
*Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju [[vektorski prostor]] nad [[Realan broj|realnim brojevima]]. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor ''svih'' realnih funkcija je [[direktna suma]] linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije: |
*Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju [[vektorski prostor]] nad [[Realan broj|realnim brojevima]]. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor ''svih'' realnih funkcija je [[direktna suma]] linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije: |
||
:<math> |
:<math> |
||
Red 63: | Red 63: | ||
==Vidi još== |
== Vidi još == |
||
*[[Hermitijan funkcija]] za generalizaciju nad kompleksnim brojevima |
*[[Hermitijan funkcija]] za generalizaciju nad kompleksnim brojevima |
||
*[[Tejlorov red]] |
*[[Tejlorov red]] |
||
*[[Furijeov red]] |
*[[Furijeov red]] |
||
[[ |
[[Kategorija:Matematička analiza]] |
||
[[bg:Четна и нечетна функция]] |
|||
[[bs:Parne i neparne funkcije]] |
[[bs:Parne i neparne funkcije]] |
||
[[cs:Sudé a liché funkce]] |
[[cs:Sudé a liché funkce]] |
Verzija na datum 19 august 2009 u 00:48
U matematici, parne funkcije i neparne funkcije su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji stepenih redova i Furijeovih redova. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija xn je parna funkcija ako je n paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je n neparan ceo broj.
Parne funkcije
Neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f parna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:
- .
Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko y ose.
Primeri parnih funkcija su apsolutna vrednost, x2, x4, cos(x), i cosh(x).
Neparne funkcije
Ponovo, neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f neparna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:
- .
Geometrijski, neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle koordinatne rotacije za 180 stepeni oko koordinatnog početka.
Primeri neparnih fuknicja su x, x3, x4, sin(x), i erf (x).
Neke činjenice
Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak neprekidnost funkcije. Svojstva koja uključuju Furijeove redove, Tejlorove redove, izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.
Osnovna svojstva
- Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. f(x) = 0 za svako x).
- Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli.
- Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.
- Zbir dve neparne funkcije je takođe neparna funkcija, i rezultat svakog množenja neparne funkcije konstantom je neparna funkcija.
- Proizvod dve parne funkcije je parna funkcija.
- Proizvod dve neparne funkcije je parna funkcija.
- Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
- Količnik deljenja dve parne funkcije je parna funkcija.
- Količnik deljenja dve neparne funkcije je parna funkcija.
- Količnik deljenja parne funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
- Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
- Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
- Kompozicija dve parne funkcije je parna, a kompozicija dve neparne funkcije je neparna funkcija.
- Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
- Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne važi obratno).
- Integral neparne funkcije od -A do +A je nula (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
- Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
Redovi
- Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.
- Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.
- Furijeov red periodične parne funkcije uključuje samo kosinusne članove.
- Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo sinusne članove.
Algebarske strukture
- Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju vektorski prostor nad realnim brojevima. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor svih realnih funkcija je direktna suma linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:
- Parne funkcije formiraju K-algebru nad realnim brojevima. S druge strane, neparne funkcije ne formiraju K-algebru nad realnim brojevima.
Vidi još
- Hermitijan funkcija za generalizaciju nad kompleksnim brojevima
- Tejlorov red
- Furijeov red