Euklidska udaljenost – razlika između verzija
Nema sažetka izmjene |
|||
Red 1: | Red 1: | ||
'''Euklidska udaljenost''' je najkraći razmak između dvije [[Tačka (geometrija)|tačke]] u jednom [[Prostor|prostoru]]. <ref> [http://www.geoinformatik.uni-rostock.de/einzel.asp?ID=644 Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Rostock, Njemačka, [[Njemački jezik|njem.]]] učitano 01.01.2014</ref> U jednoj [[Ravan|ravni]] je, primjera radi, definisana po [[Pitagorina teorema|Pitagorinoj teoremi]]<ref name="Matheprisma Uni Wuppertal">[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/PI/Euklid.htm Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Wuppertal, Njemačka, ][[Njemački jezik|njem.]]<span> </span> učitano 01.01.2014. ('''''Napomena:''' x1 i x2 - tačke na x-osi, y1 i y2 - na y-osi. Na izvoru su to drugačije označene tačke.'')</ref> |
'''Euklidska udaljenost''' je najkraći razmak između dvije [[Tačka (geometrija)|tačke]] u jednom [[Prostor|prostoru]]. <ref> [http://www.geoinformatik.uni-rostock.de/einzel.asp?ID=644 Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Rostock, Njemačka, [[Njemački jezik|njem.]]] učitano 01.01.2014</ref> U jednoj [[Ravan|ravni]] je, primjera radi, definisana po [[Pitagorina teorema|Pitagorinoj teoremi]]<ref name="Matheprisma Uni Wuppertal">[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/PI/Euklid.htm Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Wuppertal, Njemačka, ][[Njemački jezik|njem.]]<span> </span> učitano 01.01.2014. ('''''Napomena:''' x1 i x2 - tačke na x-osi, y1 i y2 - na y-osi. Na izvoru su to drugačije označene tačke.'')</ref> |
||
==Definicija== |
==Definicija== |
||
Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta |
Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta prave koja ih povezuje <math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}</math>. |
||
U Kartezijevim koordinatama, ako su <math>p = (p_1, p_2, ..., p_n)</math> i <math>q = (q_1, q_2, ..., q_n)</math> dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule: |
U Kartezijevim koordinatama, ako su <math>p = (p_1, p_2, ..., p_n)</math> i <math>q = (q_1, q_2, ..., q_n)</math> dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule: |
||
Red 8: | Red 8: | ||
& = \sqrt{\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}.\end{align}</math> |
& = \sqrt{\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}.\end{align}</math> |
||
Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora: |
Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine [[Vektor|vektora]]: |
||
:<math> \left\| \mathbf{p} \right\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}} ,</math> |
:<math> \left\| \mathbf{p} \right\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}} ,</math> |
||
Red 35: | Red 35: | ||
Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost. <ref name="Matheprisma Uni Wuppertal"/> |
Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost. <ref name="Matheprisma Uni Wuppertal"/> |
||
Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda |
Ako su tačke date u [[Polarne koordinate|polarnim koordinatama]] onda |
||
:<math>\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.</math> |
:<math>\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.</math> |
Verzija na datum 9 juli 2016 u 18:56
Euklidska udaljenost je najkraći razmak između dvije tačke u jednom prostoru. [1] U jednoj ravni je, primjera radi, definisana po Pitagorinoj teoremi[2]
Definicija
Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta prave koja ih povezuje .
U Kartezijevim koordinatama, ako su i dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:
Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:
Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:
U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je
ili
Jednodimenzionalna udaljenost
u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je
Dvodimenzionalna udaljenost
Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog pravouglog trougla:
Dužina horizontalne linije je kateta: [2]
Dužina vertikalne linije je kateta: [2]
Prema tome udaljenost je hipotenuza: [2]
Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost. [2]
Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda
Trodimenzionalna udaljenost
U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je
n - domenzionalna udaljenost
U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je
Kvadrat Euklidske udaljenosti
Kvadrat Euklidske udaljenosti je
Izvor
Cluster Analysis /March 2, 2011.
Reference
- ↑ Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Rostock, Njemačka, njem. učitano 01.01.2014
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Wuppertal, Njemačka, njem. učitano 01.01.2014. (Napomena: x1 i x2 - tačke na x-osi, y1 i y2 - na y-osi. Na izvoru su to drugačije označene tačke.)