Aritmetika – razlika između verzija
m Bot: Brisanje šablona: Link FA. |
Nema sažetka izmjene |
||
Red 12: | Red 12: | ||
Pojam "aritmetika" koristi se i za osnovnu [[teorija brojeva|teoriju brojeva]]; u tom kontekstu se pojavljuju i [[Osnovna teorema aritmetike]] i [[aritmetička funkcija|aritmetičke funkcije]]. |
Pojam "aritmetika" koristi se i za osnovnu [[teorija brojeva|teoriju brojeva]]; u tom kontekstu se pojavljuju i [[Osnovna teorema aritmetike]] i [[aritmetička funkcija|aritmetičke funkcije]]. |
||
== Tablica množenja == |
|||
{| class="wikitable" style="text-align:center" |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!width="30"| ×||width="30"|1||width="30"|2||width="30"|3||width="30"|4||width="30"|5||width="30"|6||width="30"|7||width="30"|8||width="30"|9||width="30"|10||width="30"|11||width="30"|12||width="30"|13||width="30"|14||width="30"|15||width="30"|16||width="30"|17||width="30"|18||width="30"|19||width="30"|20||width="30"|21||width="30"|22||width="30"|23||width="30"|24||width="30"|25 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!1 |
|||
|1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15||16||17||18||19||20||21||22||23||24||25 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!2 |
|||
|2||4||6||8||10||12||14||16||18||20||22||24||26||28||30||32||34||36||38||40||42||44||46||48||50 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!3 |
|||
|3||6||9||12||15||18||21||24||27||30||33||36||39||42||45||48||51||54||57||60||63||66||69||72||75 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!4 |
|||
|4||8||12||16||20||24||28||32||36||40||44||48||52||56||60||64||68||72||76||80||84||88||92||96||100 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!5 |
|||
|5||10||15||20||'''25'''||30||35||40||45||'''50'''||55||60||65||70||'''75'''||80||85||90||95||'''100'''||105||110||115||120||125 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!6 |
|||
|6||12||18||24||30||36||42||48||54||60||66||72||78||84||90||96||102||108||114||120||126||132||138||144||150 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!7 |
|||
|7||14||21||28||35||42||49||56||63||70||77||84||91||98||105||112||119||126||133||140||147||154||161||168||175 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!8 |
|||
|8||16||24||32||40||48||56||64||72||80||88||96||104||112||120||128||136||144||152||160||168||176||184||192||200 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!9 |
|||
|9||18||27||36||45||54||63||72||81||90||99||108||117||126||135||144||153||162||171||180||189||198||207||216||225 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!10 |
|||
|10||20||30||40||'''50'''||60||70||80||90||'''100'''||110||120||130||140||'''150'''||160||170||180||190||'''200'''||210||220||230||240||250 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!11 |
|||
|11||22||33||44||55||66||77||88||99||110||121||132||143||154||165||176||187||198||209||220||231||242||253||264||275 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!12 |
|||
|12||24||36||48||60||72||84||96||108||120||132||144||156||168||180||192||204||216||228||240||252||264||276||288||300 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!13 |
|||
|13||26||39||52||65||78||91||104||117||130||143||156||169||182||195||208||221||234||247||260||273||286||299||312||325 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!14 |
|||
|14||28||42||56||70||84||98||112||126||140||154||168||182||196||210||224||238||252||266||280||294||308||322||336||350 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!15 |
|||
|15||30||45||60||'''75'''||90||105||120||135||'''150'''||165||180||195||210||'''225'''||240||255||270||285||'''300'''||315||330||345||360||375 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!16 |
|||
|16||32||48||64||80||96||112||128||144||160||176||192||208||224||240||256||272||288||304||320||336||352||368||384||400 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!17 |
|||
|17||34||51||68||85||102||119||136||153||170||187||204||221||238||255||272||289||306||323||340||357||374||391||408||425 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!18 |
|||
|18||36||54||72||90||108||126||144||162||180||198||216||234||252||270||288||306||324||342||360||378||396||414||432||450 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!19 |
|||
|19||38||57||76||95||114||133||152||171||190||209||228||247||266||285||304||323||342||361||380||399||418||437||456||475 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!20 |
|||
|20||40||60||80||'''100'''||120||140||160||180||'''200'''||220||240||260||280||'''300'''||320||340||360||380||'''400'''||420||440||460||480||500 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!21 |
|||
|21||42||63||84||105||126||147||168||189||210||231||252||273||294||315||336||357||378||399||420||441||462||483||504||525 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!22 |
|||
|22||44||66||88||110||132||154||176||198||220||242||264||286||308||330||352||374||396||418||440||462||484||506||528||550 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!23 |
|||
|23||46||69||92||115||138||161||184||207||230||253||276||299||322||345||368||391||414||437||460||483||506||529||552||575 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!24 |
|||
|24||48||72||96||120||144||168||192||216||240||264||288||312||336||360||384||408||432||456||480||504||528||552||576||600 |
|||
|---- style="height:30px" |
|||
!25 |
|||
|25||50||75||100||125||150||175||200||225||250||275||300||325||350||375||400||425||450||475||500||525||550||575||600||'''625''' |
|||
|} |
|||
==Sabiranje== |
|||
Sabiranje je osnovna računska operacija aritmetike. U svom najjednostavnijem obliku, sabrati dva broja znaći |
|||
naći broj <math>a+b</math> |
|||
;Primjeri |
|||
<math>2+2=4</math> |
|||
<math>3+5=8</math> |
|||
Može se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja <math>1</math> s nekim brojem je najosnovniji oblik brojanja. |
|||
Sabiranjem broja <math>0</math> i nekog broja dobijamo taj broj. |
|||
5+0=5</math> |
|||
<math>0</math> je neutralni element za sabiranje |
|||
Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0. |
|||
<math>8+(-8)=0</math> |
|||
To je inverzan element za sabiranje. |
|||
Važi zakon komutacije |
|||
<math> |
|||
\begin{cases} |
|||
3+4=7 \\ |
|||
4+3=7 tj\\ |
|||
3+4=4+3=7 |
|||
\end{cases}</math> |
|||
Važi zakon asocijacije |
|||
<math> |
|||
\begin{cases} |
|||
(2+3)+5=5+5=10 \\ |
|||
2+(3+5)=2+8=10 tj\\ |
|||
(2+3)+5=2+(3+5)= 10 |
|||
\end{cases}</math> |
|||
Sabrati možemo i geometrijski, kao u sljedećem primjeru: |
|||
Ako imamo dva štapića dužine <math>2</math> i <math>5</math> i ako ih stavimo jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića. Dobićemo štap čija je dužina |
|||
<math>2 + 5 = 7</math>. |
|||
==Oduzimanje== |
|||
Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj <math>b</math> od broja <math>a</math> znaći naći broj |
|||
<math>a-b</math> odnosno znaći naći zbir brojeva <math>a</math> i <math>(-b)</math>. To zapisujemo |
|||
<math>a-b=a +(-b)</math> |
|||
Imamo sljedeće slučajeve |
|||
* Ako je <math>a<b</math> onda je <math>a-b<0,</math> |
|||
* Ako je a>b onda je <math>a-b>0</math> |
|||
* Ako je a=b onda je <math>a-b=0</math> |
|||
Za oduzimanje ne važi zakon komutacije a ni asocijacije. |
|||
==Množenje== |
|||
Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj |
|||
<math>a*b</math>, a to je |
|||
<math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_a</math> |
|||
;Primjer |
|||
<math>3*4=4+4+4=12</math> |
|||
Za množenje važi zakon komutacije |
|||
<math> |
|||
\begin{cases} |
|||
2*6=6+6=12 \\ |
|||
6*2=2+2+2+2+2+2=12 tj \\ |
|||
2*6=6*2=12 |
|||
\end{cases}</math> |
|||
i asocijacije |
|||
<math> |
|||
\begin{cases} |
|||
(2*3)*4=6*4=24 \\ |
|||
*(3*4)=2*12=24 tj\\ |
|||
(2*3)*4=2*12=24 |
|||
\end{cases}</math> |
|||
Ako broj <math>a</math> pomnožimo sa <math>1</math> (neutalni element) dobićemo bro <math>a</math> |
|||
<math>6*1=6</math> |
|||
Ako broj <math>a</math> pomnožimo sa recipročnom vrijednosti broja <math>a</math> dobićemo broj <math>1</math>. |
|||
<math>6*6^{-1}=1</math> |
|||
Ovo je inverzan broj. |
|||
Bilo koji broj može imati recipročnu vrijednost osim <math>0</math>. |
|||
==Dijeljenje== |
|||
Dijeljenje je inverzna računska operacija množenju. Nije definisano dijeljenje brojem <math>0</math>. |
|||
Podijeliti 2 broja znaći naći broj <math>a:b</math> odnosno naći proizvod broja <math>a</math> i recipročne vrijednosti beoja <math>b</math>. |
|||
To znaći |
|||
<math>a:b=a* b^{-1}</math> |
|||
Imamo slučajeve |
|||
* Za <math>a>b => a:b > 1</math> |
|||
* Za <math>a<b => a:b < 1</math> |
|||
* Za <math>a=b => a:b=1</math> |
|||
* |
|||
Ne važi zakon komutacije a ni asocijacije. |
|||
Za dijeljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje. |
|||
==Decimalni prikaz brojeva== |
|||
Sve vrste zapisa brojeva možemo zapisati decimalnim zapisom. |
|||
;Primjer |
|||
zapis broja <math>507,36</math> |
|||
<math>(507,36)_{10}=5*10^3+0*10^2+7*10+3*10^{-1}+6*10^{-2}</math> |
|||
Ovaj zapis brojeva obuhvata sva pravila aritmetičkih operacija |
|||
<math>2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}</math> |
|||
{{Commonscat|Arithmetic}} |
|||
[[Kategorija:Matematika]] |
[[Kategorija:Matematika]] |
||
[[Kategorija:Aritmetika|*]] |
[[Kategorija:Aritmetika|*]] |
Aktualna verzija na datum 31 mart 2016 u 08:04
Aritmetika je grana matematike koja beleži osnovne osobine određenih operacija sa brojevima. Dolazi od grčke reči arithmetike, koja se sastoji od dve reči: arithmos (broj) i techne (umeće).
Postoje četiri operacije:
iako se ponekad ovde uvrštavaju i naprednije operacije, kao što su dizanje na kvadrat (kvadriranje) i vađenje korena (korenovanje). U aritmetici postoji prvenstvo operacija gde množenje i deljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem. Stavljanjem u zagrade, koje imaju prednost u odnosu na druge operacije, je moguće promeniti redosled izračunavanja u izrazima.
Aritmetika prirodnih, celih, racionalnih (u obliku razlomaka) i realnih brojeva (koji imaju decimale) obično se uči u osnovnoj školi. Tada se uči i procentni račun, odnosno predstavljanje brojeva pomoću postotaka. Ipak, većina odraslih oslanja se na kalkulatore, računare ili abakuse da bi izračunala aritmetičke operacije.
Pojam "aritmetika" koristi se i za osnovnu teoriju brojeva; u tom kontekstu se pojavljuju i Osnovna teorema aritmetike i aritmetičke funkcije.
Tablica množenja[uredi | uredi kod]
× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 | 42 | 44 | 46 | 48 | 50 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 | 63 | 66 | 69 | 72 | 75 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 | 76 | 80 | 84 | 88 | 92 | 96 | 100 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 | 120 | 125 |
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 | 102 | 108 | 114 | 120 | 126 | 132 | 138 | 144 | 150 |
7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 | 119 | 126 | 133 | 140 | 147 | 154 | 161 | 168 | 175 |
8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 | 136 | 144 | 152 | 160 | 168 | 176 | 184 | 192 | 200 |
9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 | 153 | 162 | 171 | 180 | 189 | 198 | 207 | 216 | 225 |
10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 | 210 | 220 | 230 | 240 | 250 |
11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 | 187 | 198 | 209 | 220 | 231 | 242 | 253 | 264 | 275 |
12 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 | 240 | 252 | 264 | 276 | 288 | 300 |
13 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 | 221 | 234 | 247 | 260 | 273 | 286 | 299 | 312 | 325 |
14 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 | 238 | 252 | 266 | 280 | 294 | 308 | 322 | 336 | 350 |
15 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 | 240 | 255 | 270 | 285 | 300 | 315 | 330 | 345 | 360 | 375 |
16 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 | 272 | 288 | 304 | 320 | 336 | 352 | 368 | 384 | 400 |
17 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 | 187 | 204 | 221 | 238 | 255 | 272 | 289 | 306 | 323 | 340 | 357 | 374 | 391 | 408 | 425 |
18 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 | 180 | 198 | 216 | 234 | 252 | 270 | 288 | 306 | 324 | 342 | 360 | 378 | 396 | 414 | 432 | 450 |
19 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 | 209 | 228 | 247 | 266 | 285 | 304 | 323 | 342 | 361 | 380 | 399 | 418 | 437 | 456 | 475 |
20 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300 | 320 | 340 | 360 | 380 | 400 | 420 | 440 | 460 | 480 | 500 |
21 | 21 | 42 | 63 | 84 | 105 | 126 | 147 | 168 | 189 | 210 | 231 | 252 | 273 | 294 | 315 | 336 | 357 | 378 | 399 | 420 | 441 | 462 | 483 | 504 | 525 |
22 | 22 | 44 | 66 | 88 | 110 | 132 | 154 | 176 | 198 | 220 | 242 | 264 | 286 | 308 | 330 | 352 | 374 | 396 | 418 | 440 | 462 | 484 | 506 | 528 | 550 |
23 | 23 | 46 | 69 | 92 | 115 | 138 | 161 | 184 | 207 | 230 | 253 | 276 | 299 | 322 | 345 | 368 | 391 | 414 | 437 | 460 | 483 | 506 | 529 | 552 | 575 |
24 | 24 | 48 | 72 | 96 | 120 | 144 | 168 | 192 | 216 | 240 | 264 | 288 | 312 | 336 | 360 | 384 | 408 | 432 | 456 | 480 | 504 | 528 | 552 | 576 | 600 |
25 | 25 | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 | 250 | 275 | 300 | 325 | 350 | 375 | 400 | 425 | 450 | 475 | 500 | 525 | 550 | 575 | 600 | 625 |
Sabiranje[uredi | uredi kod]
Sabiranje je osnovna računska operacija aritmetike. U svom najjednostavnijem obliku, sabrati dva broja znaći naći broj
- Primjeri
Može se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja s nekim brojem je najosnovniji oblik brojanja.
Sabiranjem broja i nekog broja dobijamo taj broj.
5+0=5</math>
je neutralni element za sabiranje
Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.
To je inverzan element za sabiranje.
Važi zakon komutacije
Važi zakon asocijacije
Sabrati možemo i geometrijski, kao u sljedećem primjeru:
Ako imamo dva štapića dužine i i ako ih stavimo jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića. Dobićemo štap čija je dužina
.
Oduzimanje[uredi | uredi kod]
Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj od broja znaći naći broj odnosno znaći naći zbir brojeva i . To zapisujemo
Imamo sljedeće slučajeve
- Ako je onda je
- Ako je a>b onda je
- Ako je a=b onda je
Za oduzimanje ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.
Množenje[uredi | uredi kod]
Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj , a to je
- Primjer
Za množenje važi zakon komutacije
i asocijacije
Ako broj pomnožimo sa (neutalni element) dobićemo bro
Ako broj pomnožimo sa recipročnom vrijednosti broja dobićemo broj .
Ovo je inverzan broj.
Bilo koji broj može imati recipročnu vrijednost osim .
Dijeljenje[uredi | uredi kod]
Dijeljenje je inverzna računska operacija množenju. Nije definisano dijeljenje brojem .
Podijeliti 2 broja znaći naći broj odnosno naći proizvod broja i recipročne vrijednosti beoja .
To znaći
Imamo slučajeve
- Za
- Za
- Za
Ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.
Za dijeljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.
Decimalni prikaz brojeva[uredi | uredi kod]
Sve vrste zapisa brojeva možemo zapisati decimalnim zapisom.
- Primjer
zapis broja
Ovaj zapis brojeva obuhvata sva pravila aritmetičkih operacija