Razlike između izmjena na stranici "Numerička analiza"

Idi na navigaciju Idi na pretragu
Dodano 247 bajtova ,  prije 6 godina
m
== Oblasti izučavanja ==
 
Polje numeričke analize obuhvata mnoštvo potdisciplina. Neke od glavnih su:
The field of numerical analysis includes many sub-disciplines. Some of the major ones are:
 
=== Izračunavanje vrednosti funkcija ===
{| class="wikitable" style="float: right; width: 250px; clear: right; margin-left: 1em;"
|
'''InterpolationInterpolacija''': WePrimećeno haveje observedda thetemperatura temperaturevarira to vary fromod 20 degreesstepeni CelsiusCelzijusa atu 1:00 todo 14 degreesstepeni atu 3:00. ALinearnom linearinterpolacijom interpolationtih ofpodataka thisse datadolazi woulddo concludezaključka thatda itje wasbilo 17 degreesstepeni atu 2:00 andi 18.,5 degreesstepeni atu 1:30pm30 pm.
 
'''Ekstrapolacija''': Ako je [[bruto domaći proizvod]] zemlje prosečno rastao sa 5% godišnje i ako je bio 100 milijarde dolara prošle godine, ekstrapolacijom možemo zaključiti da će biti 105 milijarde dolara ove godine.
'''Extrapolation''': If the [[gross domestic product]] of a country has been growing an average of 5% per year and was 100 billion dollars last year, we might extrapolate that it will be 105 billion dollars this year.
 
[[Image:Linear-regression.svg|right|100px|ALinija line throughkroz 20 pointstačaka]]
 
'''RegressionRegresija''': InU linearlinearnoj regressionregresiji, givenpolazeći od ''n'' pointstačka, we compute aizračunavamo lineliniju thatkoja passesprolazi askoliko closegod asje possiblemoguće toblizo thosetih ''n'' pointstačaka.
 
[[Image:LemonadeJuly2006.JPG|right|100px|HowKoliko muchkošta forčaša a glass of lemonadelimunade?]]
 
'''Optimizacija''': Recimo da prodajemo limunadu na tezgi, i uočimo da pri ceni $1, možemo da prodamo 197 čaša lemunade na dana, i da za svakih $0,01 povećanja cene, prodaja opada za jednu čašu linumanade na dan. Ako prodajemo po ceni od $1,485, dolazi do maksimizacije profita, ali zbog ograničenja da je neophodno napaćivati celobrojnu cenu, naplaćivanje $1,48 ili $1,49 po čaši će proizvesti maksimalni prihod od $220,52 na dan.
'''Optimization''': Say you sell lemonade at a [[lemonade stand]], and notice that at $1, you can sell 197 glasses of lemonade per day, and that for each increase of $0.01, you will sell one glass of lemonade less per day. If you could charge $1.485, you would maximize your profit, but due to the constraint of having to charge a whole cent amount, charging $1.48 or $1.49 per glass will both yield the maximum income of $220.52 per day.
 
[[Image:Wind-particle.png|right|WindPravac directionvetra inje blue,označen trueplavom bojom, trajectoryistinska intrajektorija blackcrno, Eulerrezultat methodOjlerovog inmetoda redcrveno.]]
 
'''Diferencijalna jednačina''': Ako se 100 fanova podesi da duvaju vetar sa jednog kraja sobe na drugu i zatim se pusti pero u vetar, šta se događa? Pero će slediti struju vazduha, koja može da bude veoma kompleksna. Jedna aproksimacija je da se izmeri brzina kojom se duva vazduh u blizini pera u svakoj sekundi, i da se simulisano pomera pero kao da se kreće u pravoj liniji istom brzinom tokom jedne sekunde, pre nego što se ponovo izmeri brzina vetra. To se naziva [[Ojlerov metod|Ojlerovim metodom]] rešavanja obične diferencijalne jednačine.
'''Differential equation''': If you set up 100 fans to blow air from one end of the room to the other and then you drop a feather into the wind, what happens? The feather will follow the air currents, which may be very complex. One approximation is to measure the speed at which the air is blowing near the feather every second, and advance the simulated feather as if it were moving in a straight line at that same speed for one second, before measuring the wind speed again. This is called the [[Euler method]] for solving an ordinary differential equation.
|}
 
Jedan od najjednostavnijih problema je evaluacija funkcije u datoj tački. Najprostiji pristup unošenja broja u formulu nije uvek veoma efikasan. Za polinome, bolji pristup je korišćenje [[Hornerova šema|Hornerove šeme]], pošto se time redukuje broj neophodnih množenja i sabiranja. Generalno je važno da se proceni i kontroliše [[greška zaokruživanja]] koja nastaje pri upotrebi aritmentike [[Broj sa pokretnim zarezom|pokretnog zareza]].
One of the simplest problems is the evaluation of a function at a given point. The most straightforward approach, of just plugging in the number in the formula is sometimes not very efficient. For polynomials, a better approach is using the [[Horner scheme]], since it reduces the necessary number of multiplications and additions. Generally, it is important to estimate and control [[round-off error]]s arising from the use of [[floating point]] arithmetic.
 
=== Interpolacija, ekstrapolacija, i regresija ===
 
[[Interpolacija]] rešava sledeći problem: polazeći od vrednosti neke nepoznate funkcije u više tačaka, koju će vrednost ta funkcija imati u nekoj drugoj tački između poznatih tačaka?
[[Interpolation]] solves the following problem: given the value of some unknown function at a number of points, what value does that function have at some other point between the given points?
 
[[Ekstrapolacija]] je veoma slična interpolaciji, izuzev da je ovde cilj da se nađe vrednost nepoznate funkcije u tački koja je izvan opsega poznatih tačaka.
[[Extrapolation]] is very similar to interpolation, except that now we want to find the value of the unknown function at a point which is outside the given points.
 
[[Regresiona analiza|Regresija]] je takođe slična, izuzev da uzima u obzir podatke kao da su neprecizni. Polazeći od datog broja tačaka i izmerenih vrednosti neke funkcije u tim tačkama (sa greškom), cilj je da se odredi nepoznata funkcija. [[Metod najmanjih kvadrata]] je jedan od popularnih pristupa regresione analize.
[[Regression analysis|Regression]] is also similar, but it takes into account that the data is imprecise. Given some points, and a measurement of the value of some function at these points (with an error), we want to determine the unknown function. The [[least squares]]-method is one popular way to achieve this.
 
=== Rešavanje jednačina i sistema jednačina ===
 
AnotherJoš fundamentaljedan fundamentalni problem isje computingizračunavanje therešenja solutiondate ofjednačine. someDva givenslučaja equation.se Twoobično casesrazlikuju, areu commonlyzavisnosti distinguished,od dependingtoga onda whetherli theje equationjednačina islinearna linearili or notnije. ForNa instanceprimer, the equationjednačina <math>2x+5=3</math> isje linearlinearna, whiledok <math>2x^2+5=3</math> is notnije.
 
Znatne količine truda su uložene u razvoj metoda za rešavanje [[Sistem linearnih jednačina |sistema linearnih jednačina]]. Standardni direktni metodi, i.e., metodi koji koriste neku od [[Dekompozicija matrice|dekompozicija matrica]] su [[Gaussova eliminacijska metoda |Gausova eliminacija]], [[LU dekompozicija]], [[Čoleskijeva dekompozicija]] za [[simetrična matrica|simetrične]] (ili [[hermitijanska matrica|hermitijanske]]) ili [[pozitivna-konačna matrica|pozitivno-konačne matrice]], i [[QR dekompozicija]] za nekvadratne matrice. [[Iterativni metod]]i kao što je [[Jakobijev metod]], [[Gaus-Zajdelova metod]], [[sukcesivna prekomerna relaksacija]] i [[metod konjugovanog gradijenta]] su obično preferentni za velike sisteme. Opšti iterativni metodi se mogu razviti koristići [[podela matrice|podele matrice]].
Much effort has been put in the development of methods for solving [[systems of linear equations]]. Standard direct methods, i.e., methods that use some [[matrix decomposition]] are [[Gaussian elimination]], [[LU decomposition]], [[Cholesky decomposition]] for [[symmetric matrix|symmetric]] (or [[hermitian matrix|hermitian]]) and [[positive-definite matrix]], and [[QR decomposition]] for non-square matrices. [[Iterative method]]s such as the [[Jacobi method]], [[Gauss–Seidel method]], [[successive over-relaxation]] and [[conjugate gradient method]] are usually preferred for large systems. General iterative methods can be developed using a [[matrix splitting]].
 
[[Algoritam nalaženja korena|Algoritmi nalaženja korena]] se koriste za rešavanje nelinearnih jednačina (oni su tako nazvani zato što je koren funkcije argument za koji je vrednost funkcije nula). Ako je funkcija [[derivat|diferencijabilna]] i ako su derivati poznati, onda je [[Njutnov metod]] popularni izvor. [[Linearizacija]] je još jedna tehnika za rešavanje nelinearnih jenačina.
[[Root-finding algorithm]]s are used to solve nonlinear equations (they are so named since a root of a function is an argument for which the function yields zero). If the function is [[derivative|differentiable]] and the derivative is known, then [[Newton's method]] is a popular choice. [[Linearization]] is another technique for solving nonlinear equations.
 
=== Rešavanje svojstvene vrednositi ili singularne vrednosti problema ===
SeveralNekoliko importantvažnih problemsproblema canse bemože phrasedizraziti inu terms ofobliku [[eigenvaluedekompozicija svojstvenim decompositionvrednostima]]s orili [[singulardekompozicija valuesingularne decompositionvrednosti]]s. ForNa instanceprimer, thealgoritam [[imagekompresija compressionslika|spectralspektralne imagekompresije compressionslike]] algorithm<ref>[http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/single.htm The Singular Value Decomposition and Its Applications in Image Compression]</ref> isje basedbaziran onna thedekompoziciji singularsingularne value decompositionvredsnosti. TheKorespondiraći correspondingalat tool inu statisticsstatistici isse callednaziva [[principalanaliza componentprincipalnih analysiskomponenti]].
 
=== Optimizacija ===
3.736

izmjena

Navigacijski meni