Elipsa – razlika između verzija
m Robot: Adding so:Qabaal |
m r2.7.3) (robot Dodaje: jv:Elips; kozmetičke promjene |
||
Red 14: | Red 14: | ||
[[Analitička geometrija|Analitički]] posmatrano, elipsa je [[krive drugog reda|kriva drugog reda]]: |
[[Analitička geometrija|Analitički]] posmatrano, elipsa je [[krive drugog reda|kriva drugog reda]]: |
||
:<math>f(x,y) = \alpha _{11} x^2 + 2\alpha _{12} xy + \alpha _{22} y^2 + 2\alpha _{13} x + 2\alpha _{23} y + \alpha _{33} = 0\,</math> |
:<math>f(x,y) = \alpha _{11} x^2 + 2\alpha _{12} xy + \alpha _{22} y^2 + 2\alpha _{13} x + 2\alpha _{23} y + \alpha _{33} = 0\,</math> (opšta jednačina krive drugog reda) |
||
Koja zadovoljava sledeće uslove: |
Koja zadovoljava sledeće uslove: |
||
#<br><math>\Delta = \begin{vmatrix} |
# <br /><math>\Delta = \begin{vmatrix} |
||
\alpha _{11} & \alpha _{12} & \alpha _{13} \\ |
\alpha _{11} & \alpha _{12} & \alpha _{13} \\ |
||
\alpha _{12} & \alpha _{22} & \alpha _{23} \\ |
\alpha _{12} & \alpha _{22} & \alpha _{23} \\ |
||
\alpha _{13} & \alpha _{23} & \alpha _{33} |
\alpha _{13} & \alpha _{23} & \alpha _{33} |
||
\end{vmatrix} \neq 0</math><br><br> |
\end{vmatrix} \neq 0</math><br /><br /> |
||
#<br><math>\delta = \begin{vmatrix} |
# <br /><math>\delta = \begin{vmatrix} |
||
\alpha _{11} & \alpha _{12} \\ |
\alpha _{11} & \alpha _{12} \\ |
||
\alpha _{12} & \alpha _{22} \\ |
\alpha _{12} & \alpha _{22} \\ |
||
\end{vmatrix} > 0</math><br><br> |
\end{vmatrix} > 0</math><br /><br /> |
||
#Za realnu elipsu: <math>T \cdot \Delta = (\alpha _{11} + \alpha _{22}) \cdot \Delta < 0</math><br>Za imaginarnu elipsu (prazan skup): <math>T \cdot \Delta > 0</math> |
# Za realnu elipsu: <math>T \cdot \Delta = (\alpha _{11} + \alpha _{22}) \cdot \Delta < 0</math><br />Za imaginarnu elipsu (prazan skup): <math>T \cdot \Delta > 0</math> |
||
Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama [[dekartov koordinatni sistem|dekartovog koordinatnog sistema]], ova jednačina izgleda ovako: |
Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama [[dekartov koordinatni sistem|dekartovog koordinatnog sistema]], ova jednačina izgleda ovako: |
||
Red 113: | Red 113: | ||
[[it:Ellisse]] |
[[it:Ellisse]] |
||
[[ja:楕円]] |
[[ja:楕円]] |
||
[[jv:Elips]] |
|||
[[ka:ელიფსი]] |
[[ka:ელიფსი]] |
||
[[kk:Эллипс]] |
[[kk:Эллипс]] |
Verzija na datum 17 septembar 2012 u 13:35
- Za stilsku figuru, pogledajte Elipsa (književnost)
Elipsa (starogrč. ἔλλειψις, nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni, koja se može defniisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja od dve fiksirane tačke uvek jednak. Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse, a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.
Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra.
Ose elipse su prave koje sadrže njene prečnike. Prva prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu.
Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug.
Analitička definicija
Analitički posmatrano, elipsa je kriva drugog reda:
- (opšta jednačina krive drugog reda)
Koja zadovoljava sledeće uslove:
- Za realnu elipsu:
Za imaginarnu elipsu (prazan skup):
Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama dekartovog koordinatnog sistema, ova jednačina izgleda ovako:
Što se može zapisati i kao
U ovoj jednačini su a i b u stvari veličine poluprečnika elipse.
Površina
Površina elipse je:
gde su a i b poluprečnici elipse, a pi matematička konstanta.
Ekscentricitet
Ekscentricitet je konstanta karakterisitična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:
gde su a i b dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sa c označi rastojanje između fokusnih tačaka elipse, e će biti:
Obim
Obim elipse se može predstaviti na razne načine:
Beskonačni redovi:
Što je isto što i:
Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravio Ramanudžan:
Koja se takođe može zapisati kao:
U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi: