Parnost funkcije

Izvor: Wikipedia

U matematici, parne funkcije i neparne funkcije su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji stepenih redova i Furijeovih redova. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija xn je parna funkcija ako je n paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je n neparan ceo broj.

Parne funkcije[uredi - уреди]

f(x) = x^2, primer parne funkcije

Neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f parna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:


f(x) = f(-x) \,
.

Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko y ose.

Primeri parnih funkcija su apsolutna vrednost, x2, x4, cos(x), i cosh(x).

Neparne funkcije[uredi - уреди]

f(x) = x^3, primer neparne funkcije

Ponovo, neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f neparna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:


-f(x) = f(-x) \,
.

Geometrijski, neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle koordinatne rotacije za 180 stepeni oko koordinatnog početka.

Primeri neparnih fuknicja su x, x3, sin(x), i erf (x).

Neke činjenice[uredi - уреди]

f(x) = x^3+1 nije ni parna ni neparna funkcija

Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak neprekidnost funkcije. Svojstva koja uključuju Furijeove redove, Tejlorove redove, izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.

Osnovna svojstva[uredi - уреди]

  • Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. f(x) = 0 za svako x).
  • Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli.
  • Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.
  • Zbir dve neparne funkcije je takođe neparna funkcija, i rezultat svakog množenja neparne funkcije konstantom je neparna funkcija.
  • Proizvod dve parne funkcije je parna funkcija.
  • Proizvod dve neparne funkcije je parna funkcija.
  • Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
  • Količnik deljenja dve parne funkcije je parna funkcija.
  • Količnik deljenja dve neparne funkcije je parna funkcija.
  • Količnik deljenja parne funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
  • Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
  • Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
  • Kompozicija dve parne funkcije je parna, a kompozicija dve neparne funkcije je neparna funkcija.
  • Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
  • Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne važi obratno).
  • Integral neparne funkcije od -A do +A je nula (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
  • Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).

Redovi[uredi - уреди]

  • Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.
  • Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.
  • Furijeov red periodične parne funkcije uključuje samo kosinusne članove.
  • Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo sinusne članove.

Algebarske strukture[uredi - уреди]

  • Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju vektorski prostor nad realnim brojevima. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor svih realnih funkcija je direktna suma linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:

f(x)=f_\mathrm{even}(x)+f_\mathrm{odd}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2} \,
  • Parne funkcije formiraju K-algebru nad realnim brojevima. S druge strane, neparne funkcije ne formiraju K-algebru nad realnim brojevima.


Vidi još[uredi - уреди]