Neutral (matematika)

Izvor: Wikipedia

U matematici, neutral (ili neutralni element) je posebna vrsta elementa nekog skupa u odnosu na binarnu operaciju na tom skupu. Neutral se odlikuje time što druge elemente skupa ostavlja nepromenjenim kada se sa njima kombinuje u toj operaciji. Neutrali se koriste u grupama i povezanim konceptima.

Neka je (S,*) skup S sa binarnom operacijom * definisanom na sebi. Tada se element e skupa S naziva levi neutral ako e * a = a za svako a iz S, a desni neutral ako a * e = a za svako a iz S. Ako je e ujedno i levi i desni neutral, onda se naziva dvostranim neutralom, ili prosto neutralom.

Neutral u odnosu na sabiranje se naziva aditivnim neutralom (često se označava sa 0) a neutral u odnosu na množenje se naziva multiplikativni inverz (često se označava sa 1). Ova razlika se obično koristi za skupove koji imaju obe ove binarne operacije, kao što su prsteni.

Primeri[uredi - уреди]

skup operacija neutral
realni brojevi + (sabiranje) 0
realni brojevi • (množenje) 1
realni brojevi ab (stepenovanje) 1 (samo desni neutral)
m-sa-n matrica + (sabiranje) nula matrica
n-sa-n kvadratne matrice • (množenje) jedinična matrica
sve funkcije iz skupa M u samog sebe ∘ (kompozicija funkcija) identiteta
sve funkcije iz skupa M u samog sebe * (konvolucija) δ (Dirakova delta)
niske karaktera, liste konkatenacija prazna niska, prazna lista
prošireni realni brojevi minimum/infinum +∞
prošireni realni brojevi maksimum/supremum -∞
podskupovi skupa M ∩ (presek) M
skupovi ∪ (unija) { } (prazan skup)
Bulova logika ∧ (logičko i) ⊤ (tačno)
Bulova logika ∨ (logičko ili) ⊥ (netačno)
samo dva elementa {e, f} * definisana kao
e * e = f * e = e and
f * f = e * f = f
i e i f su levi neutrali, ali ne postoji desni ili dvostrani neutral

Kao što poslednji primer pokazuje, moguće je da  \left(S, \cdot \right) ima više levih neutrala. U stvari, svaki element može biti levi neutral. Slično, može biti više desnih neutrala. Međutim, ako postoji i lesni neutral i levi neutral, onda su jednaki i postoji samo jedan dvostrani neutral. Da bi se ovo videlo, uočimo da ako je  l levi neutral, a  r desni, onda  l = l \cdot r = r . Specijalno, nije moguće da postoji više od jednog dvostranog neutrala. Kada bi postojala dva,  e i f, onda  e \cdot f bi moralo da bude jednako i  e i  f .

Vidi još[uredi - уреди]