Logika prvog reda

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretragu

Logika prvog reda ili predikativni račun prvog reda je formalni sistem koji se koristi u matematici, filozofiji, lingvistici i računarstvu. Ovde ćemo izložiti samo osnovni i najformalniji deo nužan kao potpora člancima teorije skupova.

Logika prvog reda[uredi | uredi kod]

Logika prvog reda ili predikatska logika prvog reda se bazira na:

  • objektima,
  • svojstvima (unarnim predikatima nad objektima),
  • relacijama (n-arnim predikatima nad objektima),
  • funkcijama (preslikavanjima objekata na objekte).

Sintaksa logike prvog reda[uredi | uredi kod]

Iskaz → ProstIskaz
       |Iskaz Sveza Iskaz
|Kvantifikator Promenljiva Iskaz
|¬ Rečenica
|(Rečenica)
ProstIskaz → Predikat(Objekt, Objekt, ...) | Objekt = Objekt
Objekt = Funkcija(Objekt, Objekt, ...) | Konstanta
| Promenljiva
Sveza →
Kvantifikator → Konstanta → <tekst> tj. "A" | "1" | "a" Promenljiva → x | y | z |...
Predikat → otac| brat| poseduje| ...
Funkcija → saberi| predji|...

Objekti su:
konstante: <tekst>, tj. 0, 1, "a", "ababa"
imena funkcija: tj.

Iskaz je predikat nad jednim ili više objekata. Predikat je neko svojstvo ili relacija među objektima koji može biti istinit ili lažan.
U gornjim primerima znači da imaju zajedničkog oca, da su braća.
ProstIskaz je predikat primenjen na objekte. Npr.

 tj. Pero poseduje auto, 
 tj, Mujo i Suljo su braća.

Semantika Iskaza i ProstogIskaza je istina ili laž.

Sveze se koriste pri konstrukciji (složenih) Iskaza

 tj. Mujo i Suljo su braća, Mujo ima auto a  Suljo nema.

Kvantifikatori[uredi | uredi kod]

Koriste se ako se Iskaz odnosi na kolekciju objekata kako bi se izbeglo brojanje objekata

  • Univerzalni kvantifikatorr:

Iskaz je istinit za sve vrednosti promenljive x.

 Svi psi su sisari
  • Egzistencijalni kvantifikator:

Iskaz je istinit za bar jednu vrednost promenljive x.

 Marija ima (bar jednu) mačku crne boje
 Na ovom svetu postoji bar jedna osoba koja voli pse i mrzi mačke

Upotreba kvantifikatora[uredi | uredi kod]

  • Univerzalni kvantifikator se koristi implikativno
 Sve na ovom svetu je čovek i sisar
  • Egzistencijalni kvantifikator se koristi vezivno:
 Na ovom svetu ima nešto što Jovan ne poseduje ili postoji na ovom svetu pas

Ugneždeni kvantifikatori[uredi | uredi kod]

  • Poredak kvantifikatora istog tipa u iskazu je nevažan


  • Poredak kvantifikatora različitog tipa u iskazu je nevažan
 Svako voli nekoga, tj. svako ima nekog koga voli
 Postoji na ovom svetu neko koga svako voli

Područje ili zona važenja promenljive[uredi | uredi kod]

  • Područje ili zona važenja promenljive je iskaz na koji je kvantifikator primenljiv.
  • Promenljiva u logičkom izrazu se vezuje za najbliži kvantifivator unutar iskaza u kome se pojavljuje
 Psi postoje i svi su žuti. x u zut(x) je univerzalno kvantificiran.
  • U dobro napisanoj formuli sve promenljive moraju biti kvantifikovane:
 Ova formula nije dobro napisana

Logička veza među kvantifikatorima[uredi | uredi kod]

•Logička veza među univerzalnim i egzistencijalnim kvantifikatorom:


•Opšte važeći identiteti:






Jednakost[uredi | uredi kod]

  • Jednakost se uključuje kao primitivni logički predikat.
  • Primeri:

Jovan ima dva psa. Jednakost se koristi ovde da se obezbedi da su  i  različiti, tj. da se isključi interpretacija da  i  mogu biti isti pas

 
Svaki sin ima oca. Druga sveza  obezbeđuje da svaki sin ima jednog oca.

Logike višeg reda[uredi | uredi kod]

  • U logici prvog reda kvantifikatori su primenljivi samo na objekte.
  • U logici drugog reda kvantifikatori su primenljivi samo na predikate i funkcije:
 Dva objekta su jednaka ako i samo ako imaju ista svojstva.
 Dve funkcije su jednake ako i samo ako imaju iste vrednosti za sve moguće argumente.
  • Logika trećeg reda dopušta kvantifikaciju predikata, itd.

Na primer, predikat drugog reda može biti tj. binarni predikat je relacija refleksivnosti.

Literatura[uredi | uredi kod]

  • Raymond M. Smullyan: First-order Logic, Courier Corporation, 1995
  • Leigh S. Cauman: First-order Logic: An Introduction, Walter de Gruyter, 1998

Eksterni linkovi[uredi | uredi kod]