Lennard-Jonesov potencijal

Lenard-Džounsov potencijal je jedan od fizičkohemijskih modela kojim se opisuje zavisnost energije uzajamnog delovanja neutralnih čestica od njihovog međusobnog rastojanja. Nazvan je po svom autoru Džonu Lenard-Džonsu.

Između neutralnih čestica (atoma i molekula) deluje sila koja, zavisno od njihovog međusobnog rastojanja, može biti privlačna ili odbojna. Na velikim rastojanjima sila je privlačna (van der Valsova sila ili disperziona sila ili Londonova sila) a na malim sila je odbojna. Privlačna sila posledica je pokretljivosti atomskog i molekulskog naeletrisanja zbog čega neutralne čestice mogu jedna u drugoj da indukuju dipole koji se međusobno privlače. Potencijalna energija u polju privlačne sile je negativna. Međutim, na kratkim rastojanjima kada naeletrisanja iz različitih čestica počnu da se prekrivaju dolazi do odbijanja čestica. Potencijal u polju odbojne sile je pozitivan. Lenard-Džounsov potencijal predstavlja jednostavan matematički model u kojem je ukupni potencijal međudelovanja prikazan zbirom potencijala privlačne i odbojne sile. Džon Lenard-Džouns sa univerziteta u Bristolu predložio je formulu 1931. godine.

Lenard-Džounsov potencijal dimera argona: crveno - empirijska kriva, tačkasto - Lenard-Džounsova formula.

Jednačina

Lenard-Džounsov porencijal (L-J) ima dva člana, pozitivni kojim se predstavlja odbijanje i negativni kojim se predstavlja privlačenje među neutralnim česticama:

$V(r)=4\varepsilon {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}}^{12}-{\begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}}^{6}\end{bmatrix}}$

Ovde ε predstavlja dubinu poencijalne jame a σ je radijus čestice predstavljene kao čvrsta sfera. Dakle, član ${\begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}}^{6}$ označava privlačnu silu a član ${\begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}}^{12}$ odbojnu.

Minimum L-J potencijal postiže kada se delovanja privlačne i odbojne sile uzajamno ponište. Rastojanje pri kojem se to dešava nazivamo ravnotežnim:
$r_{0}=2^{1/6}\sigma$.

Sila je negativni gradijent potencijala polja pa iz gornjeg izraza nalazimo zavisnost sile od rastojanja:

$\mathbf {F} (r)=-\nabla V(r)=-{\frac {d}{dr}}V(r){\hat {\mathbf {r} }}=4\epsilon \left(12\,{\frac {{\sigma }^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac {{\sigma }^{6}}{{r}^{7}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}$

L-J potencijal je približni potencijal. Oblik odbojnog člana nema teorijskog opravdanja; odbojni član bi trebalo eksponencijalno da pada sa rastojanjem. Međutim zavisnost koju je pedložio Lenard-Džouns je zgodna jer se lao izračunava (ond anije bilo računara) kao kvadrat privlačnog člana, r⁶. Privlačni potencijal koji ima daleki domet izveden je iz Lonodnove disperzione sile. L-J potencijal je relativno dobra aproksimacija i zbog jednostavnosti često se koristi za opisivanje gasova, i modelovanje disperzije i preklapanja u molekulskim modelima. Posebno je zgodan za opisivanje atoma inertnih gasova a dobra je aproksimacija pri velikim i srednjim rastojanjima kod neutralnih molekula. Na crtežu je prikazan L-J potencijal za dimer argona, u poređenju sa empirijskim potencijalom. Malo neslaganje posledica je netačnosti u odbojnom delu L-J potencijala.

Alternativni izrazi

Funkcija L-J potencijala često se izražava i kao

$V(r)=\epsilon \left[\left({\frac {r_{min}}{r}}\right)^{12}-2\left({\frac {r_{min}}{r}}\right)^{6}\right]$

gde je

$\,r_{min}$ = $\,2^{1/6}\sigma$ ravnotežno rastojanje (rastojanje na minimumu potencijala).

Često se koristi i oblik

$V(r)={\frac {A}{r^{12}}}-{\frac {B}{r^{6}}}$

gde je

$\,A=4\epsilon \sigma ^{12}$

$\,B=4\epsilon \sigma ^{6}$

$\sigma =\left({\frac {A}{B}}\right)^{\frac {1}{6}}$

i

$\epsilon ={\frac {B^{2}}{4A}}$.

Vidi još

• Morzeov potencijal