Kubna funkcija

Izvor: Wikipedia

Kubna funkcija u matematici je svaka funkcija oblika: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \,, gdje je a različito od nule.

Karakteristične vrijednosti kubne funkcije[uredi - уреди]

f(x) = x^3 +3x^2 - 6x - 8\,  \!

Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u koordinatnom sustavu na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nulišta funkcije ili njene ekstreme (slika desno).

Nulišta kubne funkcije[uredi - уреди]

U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe:

  x^3 +3x^2 - 6x - 8=0  \,

rješenja koje su :

 x_1=-4, x_2=-1, x_3=2 \,

Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike.

Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke tada će nulišta funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva.

Ekstremi kubne funkcije[uredi - уреди]

Kubna funkcija ima dva ekstrema, jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju

 y= x^3 +3x^2 - 6x - 8\,

točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost:

  dy=3x^2dx +6xdx -6dx  \,

odakle slijedi da je

  dy=(3x^2+6x-6)dx  \,
 y' = \frac{dy}{dx}=3x^2+6x-6 = x^2+2x-2.  \,

Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja kvadratne jednadžbe zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama

 x_{1,2} =-1\pm  \sqrt3 .  \,

O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije.

Literatura[uredi - уреди]

  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
  • Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.