Hiperbolična trigonometrija

Hiperbolična trigonometrija ima svoju ulogu u geometriji Lobačevskog. Koristi se za proučavanje otpornosti materijala, u elektrotehnici, statičkim proračunima visećih mostova u građevinarstvu i drugim granama nauke. U matematici se hiperbolične funkcije koriste, na primer, za rešavanje integrala gde se pojavljuje $\surd (1+x^{2}),$ za razliku od oblika $\surd (1-x^{2})$ gde se koristi obična, tj. ravninska trigonometrija.

Hiperbolične funkcije

Hiperbolične funkcije je uveo u upotrebu italijanski matematičar Vinčenco Rikati (Vincenzo Riccati, 1707-1775). On je koristio oznake Sh. i Ch. za hiperbolni sinus i kosinus. Teoriju je dalje razvio Lambert (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777. Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, tom. XXIV, str. 327 (1768)), negde oko 1771, upotrebljavajući sinh i cosh. Kod nas se za hiperbolne funkcije koriste oznake sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, ali ovde sledimo skraćenice koje podržava Vikipedijin softver, tj. Lateh, a to su uobičajene anglosaksonske oznake.

Definicija hiperboličnih funkcija

Sinus hiperbolični, kosinus hiperbolični i tangens hiperbolični određeni su formulama:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},$

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},$

$\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}.$

• 
  Sl.1. Graf sinusa hiperboličnog (plave boje, donji), i kosinus (crven, iznad)
• 
  Sl.2. Graf tangensa hiperboličnog (plav)
• 
  Sl.3. Graf kotangensa hiperboličnog (crven)

Kotangens hiperbolični, sekans hiperbolični i kosekans hiperbolični su recipročne vrednosti:

$\coth x={\frac {1}{\tanh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}},$

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}},$

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}.$

• 
  Sl.4. Graf sekansa hiperboličnog (crven)
• 
  Sl.5. Graf kosekansa hiperboličnog (plav)

Geometrijsko određivanje hiperboličnih funkcija analogno je određivanju trigonometrijskih funkcija sinus, kosinus, tangens (v. ravninska trigonometrija).

Geometrijsko određivanje

U trigonometrijskom krugu definisane su funkcije $\sin x,\;\cos x,\;\tan x$ kao odsečci BC, OB, AD (poluprečnik r=1), a ugao α je centralni ugao AOC. Isti ugao smo mogli definisati i kao površinu P_k dvostrukog kružnog isečka COK (sl.6. šrafirano).

• 
  Sl.6. Trigonometrijska kružnica
• 
  Sl.7. Trigonometrijska hiperbola

Naime, kada je ugao AOC, tj. α u radijanima, tada dvostruki centralni isečak COK ima površinu $P_{k}={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\alpha =\alpha .$ Uzimajući analognu funkciju površine, ali ne za kružnicu $x^{2}+y^{2}=1,$ nego za istostranu hiperbolu $x^{2}-y^{2}=1,$ i označavajući sa $P_{h}=x$ površinu analognog sektora COK (šrafirano na sl.7.), definišemo hiperbolne funkcije: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, odnosno istim redom sinh x, cosh x, tanh x, tj. sinus, kosinus i tangens hiperbolni.

Kada površinu h izračunamo (v. određeni integral) dobijamo izraze za BC, OB, AD:

$x=\ln(BC+{\sqrt {BC^{2}+1}})=\ln(OB+{\sqrt {OB^{2}-1}})={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+AD}{1-AD}},$

dakle za hiperbolne funkcije dobijamo prethodno navedene izraze u eksponencijalnom obliku:

$BC={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=\sinh x,$

$OB={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cosh x,$

$AD={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=\tanh x.$

Trigonometrijske veze

$\sin z=-i\sinh z,\quad \sinh z=-i\sin iz,$

$\cos z=i\cosh z,\quad \cosh z=i\cos iz,$

$\tan z=-i\tanh z,\quad \tanh z=-i\tan iz,$

$\cot z=i\sinh z,\quad \coth z=i\cot iz.$

Svaka formula koja povezuje hiperbolične funkcije argumenta h ili ah, ali ne ax+b, može se dobiti iz odgovarajuće formule koja povezuje obične trigonometrijske funkcije ugla z zamenom $\sin z\,$ sa $i\sinh x\,$ i zamenom $\cos z\,$ sa $\cosh x.\,$ Na primer:

$\cos ^{2}z+\sin ^{2}z=1\,$ prelazi u $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,\,$

$\sin 2z=2\sin y\cos z,\,$ prelazi u $\sinh 2x=2\sinh x\cosh x.\,$

Osnovne formule

Za hiperbolne funkcije vrede formule analogne formulama za funkcije obične trigonometrije.

Funkcije jednog argumenta

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,\quad \operatorname {sech} ^{2}x+\tanh ^{2}x=1,$

$\coth ^{2}x-\operatorname {csch} ^{2}x=1,\quad \tanh x\cdot \coth x=1,$

${\frac {\sinh x}{\cosh x}}=\tanh x,\quad {\frac {\cosh x}{\sinh x}}=\coth x.$

Međusobno izražavanje

$\sinh x={\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}={\frac {\tanh x}{\sqrt {1-\tan ^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {\coth ^{2}x-1}}},$

$\cosh x={\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x}}}={\frac {\coth x}{\sqrt {\cot ^{2}x-1}}},$

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}}={\frac {\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}{\cosh x}}={\frac {1}{\coth x}},$

$\coth x={\frac {\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}{\sinh x}}={\frac {\cosh x}{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}}={\frac {1}{\tanh x}}.$

Zbir i razlika argumenata

$\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y,$

$\cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y,$

$\tanh(x\pm y)={\frac {\tanh x\pm \tanh y}{1\pm \tanh x\tanh y}},\quad \coth(x\pm y)={\frac {1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm \coth y}}.$

Funkcije dvostrukog argumenta

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\quad \cosh 2x=\sinh ^{2}x+\cosh ^{2}x,$

$\tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}},\quad \coth 2x={\frac {1+\coth ^{2}x}{2\coth x}}.$

Moavrova hiperbolična formula

$(\cosh x\pm \sinh x)^{n}=\cosh nx\pm \sinh nx$

Funkcije polovine argumenta

$\sinh {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}},$ + za x>0, - za x<0,

$\cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}},$

$\tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}},\quad \coth {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\cosh x-1}}={\frac {\cosh x+1}{\sinh x}}.$

Zbir i razlika funkcija

$\sinh x\pm \sinh y=2\sinh {\frac {x\pm y}{2}}\cosh {\frac {x\mp y}{2}},$

$\cosh x+\cosh y=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}},$

$\cosh x-\cosh y=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}},$

$\tanh x\pm \tanh y={\frac {\sinh(x\pm y)}{\cosh x\cosh y}}.$

Inverzne (Area) funkcije

Nazivi area-sinus, area-kosinus, area-tangens i area-kotangens potiču od reči area (površina) jer area-funkcije možemo predstaviti površinom hiperboličnog sektora. One su inverzne funkcijama sinus hiperbolni, kosinus hiperbolni, tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni, tj. ako je $y=\sinh x\,$ tada je $x=Ar\sinh y,\,$ itd:

$y=Ar\sinh x\,$ area-sinus, ako je $x=\sinh y,\,$

$y=Ar\cosh x\,$ area-kosinus, ako je $x=\cosh y,\,$

$y=Ar\tanh x\,$ area-tangens, ako je $x=\tanh y,\,$

$y=Ar\coth x\,$ area-kotangens, ako je $x=\coth y.\,$

Izražavanje logaritmima

$Ar\sinh x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),$

$Ar\cosh x=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\;x\geq 1,$

$Ar\tanh x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\;|x|<1,$

$Ar\coth x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\;|x|>1.$

Međusobno izražavanje inverznih

$Ar\sinh x=\pm ^{*}Ar\cosh {\sqrt {x^{2}+1}}=Ar\tanh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=Ar\coth {\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}},$

$Ar\cosh x=\pm Ar\sinh {\sqrt {x^{2}-1}}=\pm Ar\tanh {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}=\pm Ar\cosh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}},$

$Ar\tanh x=Ar\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pm ^{*}Ar\cosh {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=Ar\coth {\frac {1}{x}},$

$Ar\coth x=Ar\sinh {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\pm ^{*}Ar\cosh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=Ar\tanh {\frac {1}{x}}.$

Uz indeks * ide predznak + za h pozitivno, - za h negativno.

Odnosi među inverznim

$Ar\sinh x\pm Ar\sinh y=Ar\sinh(x{\sqrt {1+y^{2}}}\pm y{\sqrt {1+x^{2}}}),$

$Ar\cosh x\pm Ar\cosh y=Ar\cosh(xy\pm {\sqrt {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}}),$

$Ar\tanh x\pm Ar\tanh y=Ar\tanh {\frac {x\pm y}{1\pm xy}}.$

Povezano

• Geometrija
• Trigonometrija
• Hiperbolične funkcije
• Inverzne hiperbolične funkcije